Calcule os limites abaixo:
(e) \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{sen} x-1}{x-\frac{\pi}{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{sen}x-1}{x-\frac{\pi}{2}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • Sabemos que \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1.
  • Quando x\to\tfrac{\pi}{2}, o numerador \operatorname{sen}x-1\to0 e o denominador x-\tfrac{\pi}{2}\to0. Portanto é uma forma indeterminada do tipo \tfrac{0}{0} e precisamos manipular a expressão para avaliar o limite.

Passo 2

Vamos centralizar a indeterminação usando a substituição
h = x - \frac{\pi}{2},
então h\to0 quando x\to\frac{\pi}{2}. Reescrevendo \operatorname{sen}x em termos de h:
\operatorname{sen}x=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}+h\right).
Usando a fórmula da soma para o seno,
\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\cos a\operatorname{sen}b,
com a=\tfrac{\pi}{2} e b=h, temos
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}+h\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos h+\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\operatorname{sen}h=1\cdot\cos h+0\cdot\operatorname{sen}h=\cos h.
Portanto o limite fica
\lim_{h\to0}\frac{\cos h - 1}{h}.

Passo 3

Para tratar \dfrac{\cos h-1}{h} usamos a identidade trigonométrica
\cos h = 1 - 2\sin^2\!\left(\frac{h}{2}\right),
que implica
\cos h - 1 = -2\sin^2\!\left(\frac{h}{2}\right).
Substituindo na fração:
\frac{\cos h - 1}{h} = -2\cdot\frac{\sin^2\!\left(\tfrac{h}{2}\right)}{h}.

Passo 4

Agora reescrevemos para usar o limite fundamental \lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1. Observe que
\sin^2\!\left(\frac{h}{2}\right) = \left(\frac{\sin\!\left(\tfrac{h}{2}\right)}{\tfrac{h}{2}}\right)^2 \left(\frac{h}{2}\right)^2.
Substituindo:
\frac{\cos h - 1}{h} = -2 \left(\frac{\sin\!\left(\tfrac{h}{2}\right)}{\tfrac{h}{2}}\right)^2 \frac{\left(\tfrac{h}{2}\right)^2}{h} = -2 \left(\frac{\sin\!\left(\tfrac{h}{2}\right)}{\tfrac{h}{2}}\right)^2 \cdot \frac{h^2}{4h} = -\left(\frac{h}{2}\right)\left(\frac{\sin\!\left(\tfrac{h}{2}\right)}{\tfrac{h}{2}}\right)^2.

Passo 5

Tomando limite quando h\to0:
  • \dfrac{\sin\!\left(\tfrac{h}{2}\right)}{\tfrac{h}{2}}\to1 pelo limite fundamental,
  • e \dfrac{h}{2}\to0.
    Logo
\lim_{h\to0} -\left(\frac{h}{2}\right)\left(\frac{\sin\!\left(\tfrac{h}{2}\right)}{\tfrac{h}{2}}\right)^2 = -0\cdot 1^2 = 0.
Portanto o limite original vale 0.
Observação rápida (método alternativo, útil na prova): esse limite é exatamente a definição de derivada de \operatorname{sen}x em x=\tfrac{\pi}{2}, ou seja
\lim_{x\to a}\frac{\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}a}{x-a}=(\operatorname{sen}x)'_{x=a}=\cos a.
Tomando a=\tfrac{\pi}{2} obtém-se \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0, mesmo resultado.

Resposta

0

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