Calcule os limites abaixo:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- Sabemos que
. - Quando
, o numerador e o denominador . Portanto é uma forma indeterminada do tipo e precisamos manipular a expressão para avaliar o limite.
Passo 2
Vamos centralizar a indeterminação usando a substituição
então
quando
. Reescrevendo
em termos de
:
Usando a fórmula da soma para o seno,
com
e
, temos
Portanto o limite fica
Passo 3
Para tratar
usamos a identidade trigonométrica
que implica
Substituindo na fração:
Passo 4
Agora reescrevemos para usar o limite fundamental
. Observe que
Substituindo:
Passo 5
Tomando limite quando
:
-
pelo limite fundamental, - e
.
Logo
Portanto o limite original vale
.
Observação rápida (método alternativo, útil na prova): esse limite é exatamente a definição de derivada de
em
, ou seja
Tomando
obtém-se
, mesmo resultado.