Calcule os limites abaixo justificando cada passo:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a 0 da expressão
\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}.
Informações dadas:
  • A expressão é a diferença de duas frações singulares em x=0.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
    O que se pede: calcular \displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: colocar a diferença num único quociente, para ver melhor o tipo de indeterminação. Fazendo o MMC das frações:
\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1} = \frac{e^{x}-1}{x(e^{x}-1)}-\frac{x}{x(e^{x}-1)} = \frac{e^{x}-1-x}{x(e^{x}-1)}.
Portanto o limite original é
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1-x}{x(e^{x}-1)}.

Passo 3

Verificar a forma da indeterminação:
  • Quando x\to 0, tem-se e^{x}\to 1, logo e^{x}-1-x\to 0-0=0.
  • O denominador x(e^{x}-1) também tende a 0 porque x\to 0 e e^{x}-1\to 0.
    Logo é uma indeterminação do tipo \dfrac{0}{0}. Para resolver, vamos obter as ordens principais dos termos no numerador e no denominador quando x é pequeno (usar expansão de e^{x} em torno de 0).
Breve explicação da expansão de e^{x} (Maclaurin) que será usada:
A função e^{x} tem derivadas iguais a e^{x} em todos os pontos; em particular, no ponto 0 todas as derivadas valem 1. A expansão de Taylor em torno de 0 (Maclaurin) até segunda ordem é
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+R(x),
onde o resto R(x) satisfaz \displaystyle\frac{R(x)}{x^{2}}\to 0 quando x\to 0. Em notação concisa escreve-se
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}).
Isto significa que, para x pequeno, os termos de ordem x^{2} dominam o comportamento além de 1+x.

Passo 4

Usar a expansão de e^{x} para aproximar numerador e denominador quando x é pequeno.
Numerador:
e^{x}-1-x = \left(1+x+\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\right)-1-x = \frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}).
Denominador:
x(e^{x}-1) = x\left(x+\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\right) = x^{2}+\frac{x^{3}}{2}+x\cdot o(x^{2}).
Podemos escrever
x(e^{x}-1)=x^{2}\left(1+\frac{x}{2}+o(x)\right).

Passo 5

Formar o quociente usando as aproximações:
\frac{e^{x}-1-x}{x(e^{x}-1)} = \frac{\dfrac{x^{2}}{2}+o(x^{2})}{x^{2}\left(1+\dfrac{x}{2}+o(x)\right)} = \frac{\dfrac{1}{2}+o(1)}{1+\dfrac{x}{2}+o(x)}.
Ao fazer x\to 0 temos o(1)\to 0 e \dfrac{x}{2}+o(x)\to 0, portanto o quociente tende a
\frac{1/2}{1}= \frac{1}{2}.

Passo 6

(Comentário extra — método alternativo curto) Se preferir usar L’Hôpital, aplique L’Hôpital duas vezes ao quociente \dfrac{e^{x}-1-x}{x(e^{x}-1)}. Derivando numerador e denominador sucessivamente chega-se a \dfrac{f''(0)}{g''(0)}=\dfrac{1}{2}, o mesmo resultado. (Isto é só para referência; a conta acima com expansão já resolve de forma direta.)

Resposta

\dfrac{1}{2}

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