Calcule os limites abaixo justificando cada passo:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a
da expressão
Informações dadas:
- A expressão é a diferença de duas frações singulares em
. - O ponto de interesse é
.
O que se pede: calcular.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: colocar a diferença num único quociente, para ver melhor o tipo de indeterminação. Fazendo o MMC das frações:
Portanto o limite original é
Passo 3
Verificar a forma da indeterminação:
- Quando
, tem-se , logo . - O denominador
também tende a porque e .
Logo é uma indeterminação do tipo. Para resolver, vamos obter as ordens principais dos termos no numerador e no denominador quando é pequeno (usar expansão de em torno de ).
Breve explicação da expansão de
(Maclaurin) que será usada:
A função tem derivadas iguais a
em todos os pontos; em particular, no ponto
todas as derivadas valem
. A expansão de Taylor em torno de
(Maclaurin) até segunda ordem é
A função
onde o resto
satisfaz
quando
. Em notação concisa escreve-se
Isto significa que, para
pequeno, os termos de ordem
dominam o comportamento além de
.
Passo 4
Usar a expansão de
para aproximar numerador e denominador quando
é pequeno.
Numerador:
Denominador:
Podemos escrever
Passo 5
Formar o quociente usando as aproximações:
Ao fazer
temos
e
, portanto o quociente tende a
Passo 6
(Comentário extra — método alternativo curto) Se preferir usar L’Hôpital, aplique L’Hôpital duas vezes ao quociente
. Derivando numerador e denominador sucessivamente chega-se a
, o mesmo resultado. (Isto é só para referência; a conta acima com expansão já resolve de forma direta.)