Calcule os limites abaixo justificando cada passo:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln (\ln x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(\ln x)}{x}.
Informações relevantes que o enunciado dá e que vou usar:
  • A função \ln(\ln x) está definida apenas para x>1.
  • O limite é quando x tende para +\infty.
  • Preciso analisar o comportamento do numerador \ln(\ln x) e do denominador x quando x\to\infty.

Passo 2

Observar o tipo de indeterminação:
  • Quando x\to\infty temos \ln x\to\infty e, portanto, \ln(\ln x)\to\infty.
  • Também x\to\infty.
    Logo a expressão tem a forma \dfrac{\infty}{\infty}, que é uma forma indeterminada onde podemos tentar aplicar o Teorema de L’Hôpital (se as hipóteses forem satisfeitas).

Passo 3

Enunciado útil (versão prática do Teorema de L’Hôpital):
Se para x grandes as funções f(x) e g(x) são diferenciáveis, g'(x)\neq 0, e \lim_{x\to\infty} f(x)=\lim_{x\to\infty} g(x)=\infty, então, se existir o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)},
ele é igual a \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}.
Verifico as hipóteses no nosso caso:
  • Para x>1, f(x)=\ln(\ln x) e g(x)=x são diferenciáveis.
  • Já vimos que f(x)\to\infty e g(x)\to\infty.
    Portanto podemos aplicar L’Hôpital.
Agora calculo as derivadas (explicando passo a passo):
  • Derivada de g(x)=x é g'(x)=1.
  • Para f(x)=\ln(\ln x) uso a regra da cadeia: se f(x)=\ln(u(x)), então f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
    Aqui u(x)=\ln x, logo u'(x)=\dfrac{1}{x}. Assim f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{1/x}{\ln x}=\frac{1}{x\ln x}.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(\ln x)}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x\ln x}.

Passo 5

Calcular \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x\ln x}. Para x>e temos \ln x>1, então
0<\frac{1}{x\ln x}<\frac{1}{x}.
Como \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0 e a expressão \dfrac{1}{x\ln x} é não negativa, pelo Teorema do Confronto (teorema do sanduíche) segue que
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x\ln x}=0.

Passo 6

Concluo que, pela aplicação de L’Hôpital e pela comparação acima,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(\ln x)}{x}=0.

Resposta

0

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