Calcule os limites abaixo justificando cada passo:
Passo 1
O enunciado pede calcular
Informações relevantes que o enunciado dá e que vou usar:
- A função
está definida apenas para . - O limite é quando
tende para . - Preciso analisar o comportamento do numerador
e do denominador quando .
Passo 2
Observar o tipo de indeterminação:
- Quando
temos e, portanto, . - Também
.
Logo a expressão tem a forma, que é uma forma indeterminada onde podemos tentar aplicar o Teorema de L’Hôpital (se as hipóteses forem satisfeitas).
Passo 3
Enunciado útil (versão prática do Teorema de L’Hôpital):
Se para grandes as funções
e
são diferenciáveis,
, e
, então, se existir o limite
Se para
ele é igual a
.
Verifico as hipóteses no nosso caso:
- Para
, e são diferenciáveis. - Já vimos que
e .
Portanto podemos aplicar L’Hôpital.
Agora calculo as derivadas (explicando passo a passo):
- Derivada de
é . - Para
uso a regra da cadeia: se , então .
Aqui, logo . Assim
Passo 4
Aplicando L’Hôpital:
Passo 5
Calcular
. Para
temos
, então
Como
e a expressão
é não negativa, pelo Teorema do Confronto (teorema do sanduíche) segue que
Passo 6
Concluo que, pela aplicação de L’Hôpital e pela comparação acima,
Resposta
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