Calcule os limites abaixo justificando cada passo:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin x)^{x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular
\lim_{x\to0^{+}}(\sin x)^{x}.
Informações importantes do enunciado:
  • A variável tende para 0 pela direita: x\to0^{+}.
  • A base \sin x tende para 0 quando x\to0.
  • O expoente x tende para 0.
    Portanto a expressão tem a forma indeterminada do tipo 0^{0}. Não se pode concluir o valor do limite só olhando isso — é necessário manipular a expressão.

Passo 2

Escolha do método: para limites com potência onde a base e o expoente tendem a valores que geram indeterminação ( 0^{0}, 1^{\infty}, etc.), é muito conveniente tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto. Isso facilita o uso de limites elementares. Então definimos
y=(\sin x)^{x}
e estudamos o limite de \ln y:
\ln y = x\ln(\sin x).
Se \lim_{x\to0^{+}} x\ln(\sin x)=L então \lim_{x\to0^{+}} y = \mathrm{e}^{L}. Logo precisamos calcular
\lim_{x\to0^{+}} x\ln(\sin x).

Passo 3

Decompondo \ln(\sin x) de forma útil: é conveniente usar a identidade
\ln(\sin x)=\ln x + \ln\!\biggl(\frac{\sin x}{x}\biggr).
Assim
x\ln(\sin x)=x\ln x + x\ln\!\biggl(\frac{\sin x}{x}\biggr).
Vamos calcular separadamente os dois limites à direita.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \lim_{x\to0^{+}} x\ln x.
Mostra-se que \lim_{x\to0^{+}} x\ln x=0. Uma forma clara com L’Hôpital:
x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}.
Ao tender x\to0^{+} temos numerador \ln x\to-\infty e denominador 1/x\to+\infty, portanto forma \frac{-\infty}{+\infty} e podemos aplicar L’Hôpital. Derivando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x},\qquad \frac{d}{dx}\biggl(\frac{1}{x}\biggr)=-\frac{1}{x^{2}}.
Pelo L’Hôpital,
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln x}{1/x}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{1/x}{-1/x^{2}}=\lim_{x\to0^{+}}(-x)=0.
Portanto
\lim_{x\to0^{+}} x\ln x=0.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \lim_{x\to0^{+}} x\ln\!\biggl(\dfrac{\sin x}{x}\biggr).
Sabemos o limite clássico
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,
logo \ln\!\bigl(\dfrac{\sin x}{x}\bigr)\to\ln 1=0. Para ver que o produto com x tende a zero é suficiente controlar a ordem de pequeno de \ln(\sin x/x).
Usando a expansão em série (ou a expansão de Taylor) de \sin x ao redor de 0:
\sin x = x-\frac{x^{3}}{6}+O(x^{5}),
portanto
\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^{2}}{6}+O(x^{4}).
Para u pequeno vale \ln(1+u)=u+O(u^{2}). Aplicando com u=\dfrac{\sin x}{x}-1=-\dfrac{x^{2}}{6}+O(x^{4}) obtemos
\ln\!\biggl(\frac{\sin x}{x}\biggr)=-\frac{x^{2}}{6}+O(x^{4}).
Multiplicando por x
x\ln\!\biggl(\frac{\sin x}{x}\biggr)=-\frac{x^{3}}{6}+O(x^{5}),
que tende a 0 quando x\to0. Assim
\lim_{x\to0^{+}} x\ln\!\biggl(\frac{\sin x}{x}\biggr)=0.

Passo 6

Somando as duas partes da decomposição:
\lim_{x\to0^{+}} x\ln(\sin x)=\lim_{x\to0^{+}} \biggl(x\ln x + x\ln\!\biggl(\frac{\sin x}{x}\biggr)\biggr)=0+0=0.
Logo \lim_{x\to0^{+}}\ln y=0. Como y=(\sin x)^{x} e a função exponencial é contínua,
\lim_{x\to0^{+}}(\sin x)^{x}=\mathrm{e}^{0}=1.

Resposta

1

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