Calcule os limites abaixo justificando cada passo:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular
Informações importantes do enunciado:
- A variável tende para
pela direita: . - A base
tende para quando . - O expoente
tende para .
Portanto a expressão tem a forma indeterminada do tipo. Não se pode concluir o valor do limite só olhando isso — é necessário manipular a expressão.
Passo 2
Escolha do método: para limites com potência onde a base e o expoente tendem a valores que geram indeterminação (
,
, etc.), é muito conveniente tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto. Isso facilita o uso de limites elementares. Então definimos
e estudamos o limite de
:
Se
então
. Logo precisamos calcular
Passo 3
Decompondo
de forma útil: é conveniente usar a identidade
Assim
Vamos calcular separadamente os dois limites à direita.
Passo 4
Cálculo de
.
Mostra-se que
. Uma forma clara com L’Hôpital:
Ao tender
temos numerador
e denominador
, portanto forma
e podemos aplicar L’Hôpital. Derivando numerador e denominador:
Pelo L’Hôpital,
Portanto
Passo 5
Cálculo de
.
Sabemos o limite clássico
logo
. Para ver que o produto com
tende a zero é suficiente controlar a ordem de pequeno de
.
Usando a expansão em série (ou a expansão de Taylor) de
ao redor de
:
portanto
Para
pequeno vale
. Aplicando com
obtemos
Multiplicando por
dá
que tende a
quando
. Assim
Passo 6
Somando as duas partes da decomposição:
Logo
. Como
e a função exponencial é contínua,