Calcule os limites abaixo :
ponto)
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende a
:
Informações importantes dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - A variável
tende a (isto é, vai para valores muito negativos).
Passo 2
Ideia de resolução (explicação didática): quando
tende a
em uma razão de polinômios, o comportamento dominante vem dos termos de maior grau em numerador e denominador. Uma maneira precisa de usar isso é fatorar a maior potência de
possível, simplificar e analisar os fatores que permanecem. Vou fazer isso passo a passo para não pular nada.
Passo 3
Factorizar a maior potência de
possível no numerador e também em um fator do denominador. O maior expoente no numerador é
. No denominador o maior expoente é
. Faço:
Passo 4
Substituo essas fatorações na razão e simplifico o fator comum
:
Simplificando
obtenho
Passo 5
Agora analiso os limites das duas partes quando
.
Primeiro, os termos dentro do quociente tendem a constantes porque as frações com
no denominador vão a zero:
Portanto
Passo 6
Com isso o comportamento do quociente original é equivalente ao de
multiplicado por
, ou seja é assintoticamente
. Logo
Agora lembro uma propriedade simples de potências: quando
,
- se a potência é par,
; - se a potência é ímpar,
(porque o sinal negativo se preserva).
Aqui o expoente é
(ímpar), então
. Multiplicando por
(um número negativo) temos um produto de dois negativos que tende a
. Portanto
Passo 7
Resumo intuitivo e verificação rápida: olhando apenas aos termos de maior grau, a razão se comporta como
e para
isso vai para
. Isso confirma o resultado obtido com o procedimento rigoroso acima.