Calcule os limites abaixo :
\left(1,0\right. ponto) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-3 x^{3}+16 x^{2}}{4 x^{3}+5 x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to +\infty}\frac{-3x^{3}+16x^{2}}{4x^{3}+5x}.
Informações dadas:
  • O numerador é -3x^{3}+16x^{2}.
  • O denominador é 4x^{3}+5x.
  • Queremos o limite quando x tende para +\infty.

Passo 2

Ideia geral (sem ainda calcular): quando x\to+\infty os termos das maiores potências de x dominam o comportamento de polinômios e quocientes de polinômios. Para racionalizar isso de forma segura, uma técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui x^{3}). Vou fazer isso passo a passo.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{3} obtemos, passo a passo,
\frac{-3x^{3}+16x^{2}}{4x^{3}+5x} = \frac{x^{3}\!\left(-3+\dfrac{16}{x}\right)}{x^{3}\!\left(4+\dfrac{5}{x^{2}}\right)} = \frac{-3+\dfrac{16}{x}}{4+\dfrac{5}{x^{2}}}.

Passo 4

Agora usamos limites simples: sabe-se que
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{2}}=0.
Logo
\lim_{x\to+\infty}\frac{16}{x}=16\cdot 0 = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{5}{x^{2}}=5\cdot 0 = 0.
Aplicando limite na expressão da Passo 3:
\lim_{x\to+\infty}\frac{-3+\dfrac{16}{x}}{4+\dfrac{5}{x^{2}}} =\frac{-3+0}{4+0}=\frac{-3}{4}.

Passo 5

Interpretação rápida: como os termos de grau menor (como 16x^{2} ou 5x) ficam desprezíveis frente a x^{3} quando x cresce muito, o quociente tende à razão dos coeficientes dos termos de maior grau, isto é, -3 sobre 4.

Resposta

-\dfrac{3}{4}

Exercícios relacionados