Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(-x+2)}{\sqrt{2}-\sqrt{x}} \quad R \rightarrow \sqrt{2}+1

Passo 1

O enunciado pede
Calcular
\lim_{x\to1}\frac{-x+2}{\sqrt{2}-\sqrt{x}}
O conteúdo aqui é limite de função com radical. Vamos usar substituição direta e, para deixar o resultado em forma simples, racionalização do denominador.

Passo 2

Verificamos se dá para substituir x=1 diretamente:
- Numerador em x=1: -1+2=1.
- Denominador em x=1: \sqrt{2}-\sqrt{1}=\sqrt{2}-1\neq0.
Como o denominador não é zero, não há indeterminação e poderíamos já escrever
\lim_{x\to1}\frac{-x+2}{\sqrt{2}-\sqrt{x}} =\frac{1}{\sqrt{2}-1}.
Para ficar mais elegante, vamos racionalizar.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de \sqrt{2}-\sqrt{x}, que é \sqrt{2}+\sqrt{x}:
\frac{-x+2}{\sqrt{2}-\sqrt{x}} \;\cdot\; \frac{\sqrt{2}+\sqrt{x}}{\sqrt{2}+\sqrt{x}} = \frac{(-x+2)\bigl(\sqrt{2}+\sqrt{x}\bigr)}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{x})^2} = \frac{(2-x)\bigl(\sqrt{2}+\sqrt{x}\bigr)}{2-x}.
Observe que 2-x cancela, restando \sqrt{2}+\sqrt{x}.

Passo 4

Agora aplicamos o limite em x\to1:
\lim_{x\to1}\bigl(\sqrt{2}+\sqrt{x}\bigr) =\sqrt{2}+\sqrt{1} =\sqrt{2}+1.

Resposta

\sqrt{2}+1

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