Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 3^{+}}\left(\frac{-1}{x^{2}-5 x+6}-\frac{2}{x-3}\right) \quad R \rightarrow-\infty

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 3^+}\Bigl(\frac{-1}{x^{2}-5x+6}-\frac{2}{x-3}\Bigr).
O conteúdo é limites em pontos de descontinuidade que geram forma ∞−∞, então vamos precisar combinar as frações, simplificar e analisar o sinal perto de x=3.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador da primeira fração:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Em seguida, somamos as duas frações sobre o mesmo denominador (x-2)(x-3):
\frac{-1}{(x-2)(x-3)}-\frac{2}{x-3} =\frac{-1}{(x-2)(x-3)}-\frac{2(x-2)}{(x-2)(x-3)}.

Passo 3

Agora unimos os numeradores:
\frac{-1-2(x-2)}{(x-2)(x-3)} =\frac{-1-2x+4}{(x-2)(x-3)} =\frac{3-2x}{(x-2)(x-3)}.

Passo 4

Para x\to3^+:
  • O numerador 3-2x tende a 3-2\cdot3=-3 (valor negativo).
  • O denominador (x-2)(x-3) tende a (1)\times(0^+)=0^+ (positivo e muito pequeno).
    Logo o quociente \tfrac{3-2x}{(x-2)(x-3)} cai para -\infty.

Resposta

-\infty

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