Calcule os limites abaixo:
lim x -infty(1+ax)^b x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma expressão da forma l(1 + tfracaxr)^b,x quando xto -infty. O conteúdo envolvido é limites de funções exponenciais que geram a indeterminação do tipo 1^infty, e vamos precisar usar o limite fundamental limuto0(1+u)^1/u= e.

Passo 2

Primeiro, percebemos que ao fazermos xto -infty a base 1 + a/x tende a 1 e o expoente b,x tende a mpinfty dependendo do sinal de b, caracterizando a forma indeterminada 1^infty. Para eliminar essa ambiguidade, fazemos a mudança de variável x=-t, de modo que tto +infty. Com x=-t a expressão vira
limttoinfty(1 - at)^-b,t

Passo 3

Agora reescrevemos como potência de algo que conhecemos: note que
(1 - at)^-b,t = gl[(1 - at)^tgr]^-b
Como pelo limite fundamental temos
limttoinfty(1 - at)^t = e^-a,
seguimos que
limttoinfty(1 - at)^-b,t = l( e^-ar)^-b = e^a,b

Resposta

\mathrm e^{a b}

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