Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{4+x}-\sqrt{4-x}}{x}

Passo 1

O enunciado nos dá o limite
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4+x} - \sqrt{4-x}}{x}.
Esse tipo de limite assume forma 0/0 e costuma ser resolvido por racionalização de radicais.

Passo 2

Racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo pela conjugada \sqrt{4+x} + \sqrt{4-x}:
\frac{\sqrt{4+x} - \sqrt{4-x}}{x} = \frac{(\sqrt{4+x} - \sqrt{4-x})(\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x})} {x(\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x})} = \frac{(4+x)-(4-x)}{x(\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x})} = \frac{2x}{x(\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x})}.

Passo 3

Cancelamos o x e obtemos
\frac{2x}{x(\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x})} = \frac{2}{\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x}}.
Ao fazer x \to 0, \sqrt{4+x}\to2 e \sqrt{4-x}\to2, logo
\lim_{x\to0}\frac{2}{\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x}} = \frac{2}{2+2} = \frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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