Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 7} \frac{\sqrt{x-3}-2}{x^{2}-49}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to7}\frac{\sqrt{x-3}-2}{x^2-49}.
Este é um limite com forma indeterminada \tfrac{0}{0}, pois ao substituir x=7 temos \sqrt{7-3}-2=0 e 7^2-49=0. Para resolver, vamos usar racionalização do numerador.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada: \sqrt{7-3}-2=2-2=0 e 7^2-49=49-49=0.
Logo é \tfrac{0}{0}, típica de limites que exigem fatoração ou racionalização.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando por seu conjugado \sqrt{x-3}+2:
\frac{\sqrt{x-3}-2}{x^2-49} \;\times\; \frac{\sqrt{x-3}+2}{\sqrt{x-3}+2} = \frac{(\sqrt{x-3}-2)(\sqrt{x-3}+2)}{(x^2-49)\,(\sqrt{x-3}+2)}.

Passo 4

No numerador usa-se a diferença de quadrados:
(\sqrt{x-3}-2)(\sqrt{x-3}+2) = (x-3)-4 = x-7.
E x^2-49=(x-7)(x+7). Então a expressão fica
\frac{x-7}{(x-7)(x+7)\,(\sqrt{x-3}+2)} = \frac{1}{(x+7)\,(\sqrt{x-3}+2)}
para x\neq7.

Passo 5

Agora o limite deixa de ser indeterminado e podemos substituir x=7:
\lim_{x\to7}\frac{1}{(x+7)\,(\sqrt{x-3}+2)} =\frac{1}{(7+7)\,(\sqrt{4}+2)} =\frac{1}{14\cdot(2+2)} =\frac{1}{56}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{56}

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