Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{2 x+3}-\sqrt{5}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão envolve \sqrt{x-1}, logo só está definida para x\ge 1. Portanto o único sentido possível é x\to 1^+ (pela direita).
  • Se avaliarmos diretamente em x=1 temos numerador \sqrt{1-1}=0 e denominador \sqrt{2\cdot1+3}-\sqrt{5}=\sqrt{5}-\sqrt{5}=0. Então o limite é uma indeterminação do tipo 0/0.
  • Precisamos eliminar essa indeterminação e decidir se o limite é um número finito ou infinito (e qual sinal).

Passo 2

Estratégia didática (ferramenta que vamos usar): racionalizar o denominador usando o conjugado. A ideia é multiplicar numerador e denominador por \sqrt{2x+3}+\sqrt{5}. Motivo: para quaisquer a e b vale a identidade
(a-b)(a+b)=a^2-b^2.
Aqui a=\sqrt{2x+3} e b=\sqrt{5}. Multiplicando pelo conjugado transformamos a diferença de raízes em uma diferença de quadrados, que é uma expressão polinomial simples.

Passo 3

Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado obtemos
\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}} =\frac{\sqrt{x-1}\big(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}\big)} {\big(\sqrt{2x+3}-\sqrt{5}\big)\big(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}\big)}.
Pelo produto da soma pela diferença (diferença de quadrados) o denominador vira
\big(\sqrt{2x+3}\big)^2-\big(\sqrt{5}\big)^2=2x+3-5=2x-2.
Portanto a expressão fica
\frac{\sqrt{x-1}\big(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}\big)}{2x-2}.

Passo 4

Fatorando 2x-2 obtemos 2x-2=2(x-1). Substituindo,
\frac{\sqrt{x-1}\big(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}\big)}{2(x-1)}.
Agora simplificamos a parte que contém x-1. Para x>1 (região de interesse) temos x-1>0, logo \sqrt{x-1} é positivo e
\frac{\sqrt{x-1}}{x-1}=\frac{1}{\sqrt{x-1}}.
Aplicando essa simplificação:
\frac{\sqrt{x-1}\big(\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}\big)}{2(x-1)} =\frac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}{2\sqrt{x-1}}.

Passo 5

Agora analisamos o limite da forma simplificada quando x\to1^+. Observe os dois fatores:
  • O numerador \sqrt{2x+3}+\sqrt{5} tende a \sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5} quando x\to1.
  • O denominador 2\sqrt{x-1} tende a 0^+ (zero pela direita), porque \sqrt{x-1}\to 0^+.
Como o numerador tende a 2\sqrt{5}>0 (positivo) e o denominador tende a 0^+ (positivo e muito pequeno), o quociente cresce sem limite, ficando positivo e indo para infinito. Em símbolos:
\lim_{x\to1^+}\frac{\sqrt{2x+3}+\sqrt{5}}{2\sqrt{x-1}}=+\infty.
Portanto o limite original diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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