Calcule os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão envolve
, logo só está definida para . Portanto o único sentido possível é (pela direita). - Se avaliarmos diretamente em
temos numerador e denominador . Então o limite é uma indeterminação do tipo . - Precisamos eliminar essa indeterminação e decidir se o limite é um número finito ou infinito (e qual sinal).
Passo 2
Estratégia didática (ferramenta que vamos usar): racionalizar o denominador usando o conjugado. A ideia é multiplicar numerador e denominador por
. Motivo: para quaisquer
e
vale a identidade
Aqui
e
. Multiplicando pelo conjugado transformamos a diferença de raízes em uma diferença de quadrados, que é uma expressão polinomial simples.
Passo 3
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado obtemos
Pelo produto da soma pela diferença (diferença de quadrados) o denominador vira
Portanto a expressão fica
Passo 4
Fatorando
obtemos
. Substituindo,
Agora simplificamos a parte que contém
. Para
(região de interesse) temos
, logo
é positivo e
Aplicando essa simplificação:
Passo 5
Agora analisamos o limite da forma simplificada quando
. Observe os dois fatores:
- O numerador
tende a quando . - O denominador
tende a (zero pela direita), porque .
Como o numerador tende a
(positivo) e o denominador tende a
(positivo e muito pequeno), o quociente cresce sem limite, ficando positivo e indo para infinito. Em símbolos:
Portanto o limite original diverge para
.