Utilizando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções dadas:
f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}+\frac{2}{\sqrt{x^{5}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}+\frac{2}{\sqrt{x^{5}}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é a soma de duas parcelas: \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} e \dfrac{2}{\sqrt{x^{5}}}.
  • A pergunta é: calcular f'(x), a derivada de f em relação a x.
  • Observação sobre domínio (importante para aplicar regras com expoentes fracionários): \sqrt{x^{5}} exige x^{5}\ge 0, logo x\ge 0; além disso em x=0 ambos os termos são indefinidos por divisão por zero. Portanto, a função está definida apenas para x>0. Isso nos permite manipular expoentes fracionários de forma segura no domínio real considerado.

Passo 2

Primeiro reescrevemos as raízes como potências (isso facilita muito a derivação):
  • A raiz cúbica: \sqrt[3]{x}=x^{1/3}. Então
\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3}.
  • A raiz quadrada de x^{5}: \sqrt{x^{5}}=(x^{5})^{1/2}=x^{5/2}. Então
\frac{2}{\sqrt{x^{5}}} = 2x^{-5/2}.
Portanto podemos reescrever
f(x)=x^{-1/3}+2x^{-5/2}.

Passo 3

Relembrando a regra principal que vamos usar (expliquei como se fosse uma aulinha rápida):
  • Regra da potência: para qualquer número real n e x>0,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é o expoente (pode ser inteiro ou fracionário). Essa fórmula vem da definição da derivada e vale para expoentes racionais reais no domínio x>0.
  • Regra do fator constante: se c é constante,
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot g'(x).
Exemplo rápido para fixar: \dfrac{d}{dx}\bigl(3x^{2/3}\bigr)=3\cdot \dfrac{2}{3}x^{-1/3}=2x^{-1/3}.

Passo 4

Aplicamos as regras termo a termo em f(x)=x^{-1/3}+2x^{-5/2}.
Para o primeiro termo x^{-1/3}:
  • Pelo regra da potência com n=-\tfrac{1}{3},
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1/3}\bigr) = -\tfrac{1}{3}\,x^{-1/3-1} = -\tfrac{1}{3}\,x^{-4/3}.
(Observe que subtraímos 1 do expoente: -\tfrac{1}{3}-1=-\tfrac{4}{3}.)
Para o segundo termo 2x^{-5/2}:
  • Usamos a regra do fator constante e a regra da potência com n=-\tfrac{5}{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{-5/2}\bigr) = 2\cdot\bigl(-\tfrac{5}{2}\bigr)\,x^{-5/2-1}.
  • Calculemos os fatores: 2\cdot(-\tfrac{5}{2})=-5 e o novo expoente é -\tfrac{5}{2}-1=-\tfrac{7}{2}. Logo
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{-5/2}\bigr) = -5\,x^{-7/2}.

Passo 5

Somando as derivadas dos termos obtemos
f'(x) = -\tfrac{1}{3}\,x^{-4/3} - 5\,x^{-7/2}.
Se preferir em forma com radicais (mais “visual”):
  • x^{-4/3}=\dfrac{1}{x^{4/3}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{4}}}.
  • x^{-7/2}=\dfrac{1}{x^{7/2}}=\dfrac{1}{x^{3}\sqrt{x}}.
    Portanto outra forma equivalente é
f'(x) = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{4}}} - \frac{5}{x^{3}\sqrt{x}},
válida para x>0.

Resposta

f'(x) = -\tfrac{1}{3}\,x^{-4/3} - 5\,x^{-7/2}
f'(x) = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{4}}} - \frac{5}{x^{3}\sqrt{x}}

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