Utilizando as regras de derivação, calcule as derivadas das funções dadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é a soma de duas parcelas:
e . - A pergunta é: calcular
, a derivada de em relação a . - Observação sobre domínio (importante para aplicar regras com expoentes fracionários):
exige , logo ; além disso em ambos os termos são indefinidos por divisão por zero. Portanto, a função está definida apenas para . Isso nos permite manipular expoentes fracionários de forma segura no domínio real considerado.
Passo 2
Primeiro reescrevemos as raízes como potências (isso facilita muito a derivação):
- A raiz cúbica:
. Então
- A raiz quadrada de
: . Então
Portanto podemos reescrever
Passo 3
Relembrando a regra principal que vamos usar (expliquei como se fosse uma aulinha rápida):
- Regra da potência: para qualquer número real
e ,
Aqui
é a variável e
é o expoente (pode ser inteiro ou fracionário). Essa fórmula vem da definição da derivada e vale para expoentes racionais reais no domínio
.
- Regra do fator constante: se
é constante,
Exemplo rápido para fixar:
.
Passo 4
Aplicamos as regras termo a termo em
.
Para o primeiro termo
:
- Pelo regra da potência com
,
(Observe que subtraímos
do expoente:
.)
Para o segundo termo
:
- Usamos a regra do fator constante e a regra da potência com
:
- Calculemos os fatores:
e o novo expoente é . Logo
Passo 5
Somando as derivadas dos termos obtemos
Se preferir em forma com radicais (mais “visual”):
-
. -
.
Portanto outra forma equivalente é
válida para
.