Calcule os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\left(x^{2}-1\right) \tan (\pi x / 2)

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o seguinte limite:
\lim_{x\to 1^{+}} \left(x^{2}-1\right)\tan\!\left(\frac{\pi x}{2}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A aproximação é por valores de x maiores que 1 (isto é, x\to1^{+}).
  • A função \tan tem singularidade em x tal que \frac{\pi x}{2}=\frac{\pi}{2}, ou seja, em x=1; portanto espere comportamento tipo infinito em \tan(\cdot) enquanto o fator (x^{2}-1) tende a zero.
  • Podemos usar fatoração algébrica e substituições para analisar o produto do fator que tende a zero com a tangente que tende a infinito.

Passo 2

Primeiro fatoramos a parte polinomial:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Como x\to1^{+}, é natural fazer a substituição h=x-1. Então h\to0^{+}, x=1+h e x+1=2+h. Reescrevendo o limite em termos de h obtemos:
\lim_{h\to0^{+}} (2+h)\,h\;\tan\!\left(\frac{\pi(1+h)}{2}\right).

Passo 3

Simplificamos o argumento da tangente:
\frac{\pi(1+h)}{2}=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi h}{2}.
Portanto o limite vira
\lim_{h\to0^{+}} (2+h)\,h\;\tan\!\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi h}{2}\right).

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica (mostro-a brevemente):
\tan\!\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)}{\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)} =\frac{\cos\theta}{-\sin\theta}=-\cot\theta.
Aplicando com \theta=\frac{\pi h}{2} obtemos
\tan\!\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi h}{2}\right)=-\cot\!\left(\frac{\pi h}{2}\right).

Passo 5

Substituindo essa identidade no limite:
\lim_{h\to0^{+}} (2+h)\,h\;\tan\!\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi h}{2}\right) =\lim_{h\to0^{+}} -(2+h)\,h\;\cot\!\left(\frac{\pi h}{2}\right).

Passo 6

Para tratar o produto h\cot\!\left(\frac{\pi h}{2}\right) fazemos a substituição
t=\frac{\pi h}{2}\quad\Longrightarrow\quad h=\frac{2t}{\pi},
com t\to0^{+} quando h\to0^{+}. Reescrevendo o limite em t:
\begin{aligned} &\lim_{h\to0^{+}} -(2+h)\,h\;\cot\!\left(\frac{\pi h}{2}\right) = \lim_{t\to0^{+}} -\Bigl(2+\frac{2t}{\pi}\Bigr)\cdot\frac{2t}{\pi}\cdot\cot t \\\ &\quad= -\frac{4}{\pi}\lim_{t\to0^{+}}\Bigl(1+\frac{t}{\pi}\Bigr)\,(t\cot t). \end{aligned}

Passo 7

Agora precisamos do limite \lim_{t\to0} t\cot t. Usamos a escrita
t\cot t = t\cdot\frac{\cos t}{\sin t} = \cos t\cdot\frac{t}{\sin t}.
Conhecemos os limites básicos \lim_{t\to0}\cos t = 1 e \lim_{t\to0}\frac{t}{\sin t}=1. Portanto, pelo produto,
\lim_{t\to0} t\cot t = 1.

Passo 8

Voltando ao limite do Passo 6, temos
-\frac{4}{\pi}\lim_{t\to0^{+}}\Bigl(1+\frac{t}{\pi}\Bigr)\,(t\cot t) = -\frac{4}{\pi}\cdot(1+0)\cdot 1 = -\frac{4}{\pi}.

Resposta

-\dfrac{4}{\pi}

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