Calcule os limites abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o seguinte limite:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A aproximação é por valores de
maiores que (isto é, ). - A função
tem singularidade em tal que , ou seja, em ; portanto espere comportamento tipo infinito em enquanto o fator tende a zero. - Podemos usar fatoração algébrica e substituições para analisar o produto do fator que tende a zero com a tangente que tende a infinito.
Passo 2
Primeiro fatoramos a parte polinomial:
Como
, é natural fazer a substituição
. Então
,
e
. Reescrevendo o limite em termos de
obtemos:
Passo 3
Simplificamos o argumento da tangente:
Portanto o limite vira
Passo 4
Usamos a identidade trigonométrica (mostro-a brevemente):
Aplicando com
obtemos
Passo 5
Substituindo essa identidade no limite:
Passo 6
Para tratar o produto
fazemos a substituição
com
quando
. Reescrevendo o limite em
:
Passo 7
Agora precisamos do limite
. Usamos a escrita
Conhecemos os limites básicos
e
. Portanto, pelo produto,
Passo 8
Voltando ao limite do Passo 6, temos