Informações dadas: a função f está definida para x>-1 (para a potência real) e o parâmetro p é um número real qualquer. A tarefa é obter explicitamente os coeficientes da série em potências de x e justificar a forma geral do n-ésimo termo.
Passo 2
Recordando a fórmula de Maclaurin: se uma função f é infinitamente diferenciável numa vizinhança de 0, sua série de Taylor centrada em 0 é
onde f^{(n)}(0) significa a n-ésima derivada de f avaliada em x=0 e n! (fatorial de n) é n\cdot(n-1)\cdots 1 para n\ge1 e 0!=1. Para aplicar essa fórmula precisamos então calcular f^{(n)}(0) para todo n\ge0.
Passo 3
Vamos calcular as primeiras derivadas de f(x)=(1+x)^{p} para perceber um padrão e então provar por indução a fórmula geral.
Derivadas iniciais:
f(x)=(1+x)^{p}
f'(x)=p(1+x)^{p-1}
f''(x)=p(p-1)(1+x)^{p-2}
f^{(3)}(x)=p(p-1)(p-2)(1+x)^{p-3}
Observa-se o padrão: a cada diferenciação aparece um fator do tipo (p-k) e o expoente de (1+x) diminui em 1.
Passo 4
Prova por indução do enunciado para a n-ésima derivada.
Base n=0: f^{(0)}(x)=f(x)=(1+x)^{p}, que corresponde à fórmula com produto vazio (igual a 1).
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente para |x|<1 (raio de convergência 1). Para |x|=1 ou |x|>1 a convergência depende de p; no caso especial em que p é inteiro não-negativo, a sequência de fatores p,p-1,\ldots atinge zero e a série é finita (um polinómio), logo converge para todo x. Para |x|<1 a soma da série é igual a (1+x)^{p} (função analítica na bola de raio 1 em torno de 0).