Mostre que a série de Taylor da função f(x)=(1+x)^{p}, p \in \mathbb{R}, é dada por
1+p x+\frac{p(p-1)}{2!} x^{2}+\ldots+\frac{p(p-1) \ldots(p-n+1)}{n!} x^{n}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série de Taylor (Maclaurin, centrada em 0) da função
f(x)=(1+x)^{p},\qquad p\in\mathbb{R},
é
1+p x+\frac{p(p-1)}{2!} x^{2}+\ldots+\frac{p(p-1)\ldots(p-n+1)}{n!}x^{n}+\ldots
Informações dadas: a função f está definida para x>-1 (para a potência real) e o parâmetro p é um número real qualquer. A tarefa é obter explicitamente os coeficientes da série em potências de x e justificar a forma geral do n-ésimo termo.

Passo 2

Recordando a fórmula de Maclaurin: se uma função f é infinitamente diferenciável numa vizinhança de 0, sua série de Taylor centrada em 0 é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n},
onde f^{(n)}(0) significa a n-ésima derivada de f avaliada em x=0 e n! (fatorial de n) é n\cdot(n-1)\cdots 1 para n\ge1 e 0!=1. Para aplicar essa fórmula precisamos então calcular f^{(n)}(0) para todo n\ge0.

Passo 3

Vamos calcular as primeiras derivadas de f(x)=(1+x)^{p} para perceber um padrão e então provar por indução a fórmula geral.
Derivadas iniciais:
f(x)=(1+x)^{p}
f'(x)=p(1+x)^{p-1}
f''(x)=p(p-1)(1+x)^{p-2}
f^{(3)}(x)=p(p-1)(p-2)(1+x)^{p-3}
Observa-se o padrão: a cada diferenciação aparece um fator do tipo (p-k) e o expoente de (1+x) diminui em 1.

Passo 4

Prova por indução do enunciado para a n-ésima derivada.
Base n=0: f^{(0)}(x)=f(x)=(1+x)^{p}, que corresponde à fórmula com produto vazio (igual a 1).
Passo indutivo: suponha que
f^{(n)}(x)=p(p-1)\cdots(p-n+1)\,(1+x)^{\,p-n}.
Derivando ambos os lados em relação a x:
f^{(n+1)}(x)=p(p-1)\cdots(p-n+1)\cdot\bigl(p-n\bigr)\,(1+x)^{\,p-(n+1)}.
O produto à direita é exatamente
p(p-1)\cdots(p-n+1)(p-n)\,(1+x)^{\,p-(n+1)}
que é a fórmula desejada para n+1. Assim a fórmula vale para todo n\ge0:
f^{(n)}(x)=p(p-1)\cdots(p-n+1)\,(1+x)^{\,p-n}.

Passo 5

Avalie a n-ésima derivada em x=0. Como (1+0)^{p-n}=1, obtemos
f^{(n)}(0)=p(p-1)\cdots(p-n+1).
Substituindo na fórmula de Maclaurin:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{p(p-1)\cdots(p-n+1)}{n!}\,x^{n}.
Escrevendo explicitamente os primeiros termos:
f(x)=1+p x+\frac{p(p-1)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{p(p-1)\cdots(p-n+1)}{n!}x^{n}+\cdots,
que é exatamente a expressão pedida.

Passo 6

Comentário sobre convergência (útil para a prova): considere o termo genérico
a_{n}=\frac{p(p-1)\cdots(p-n+1)}{n!}x^{n}.
Use o teste da razão:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\left|\frac{p-n}{n+1}\right|\,|x|.
Quando n\to\infty temos \left|\frac{p-n}{n+1}\right|\to1, logo
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=|x|.
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente para |x|<1 (raio de convergência 1). Para |x|=1 ou |x|>1 a convergência depende de p; no caso especial em que p é inteiro não-negativo, a sequência de fatores p,p-1,\ldots atinge zero e a série é finita (um polinómio), logo converge para todo x. Para |x|<1 a soma da série é igual a (1+x)^{p} (função analítica na bola de raio 1 em torno de 0).

Passo 7

Dois exemplos rápidos para fixar:
p=2:\qquad(1+x)^2=1+2x+\frac{2\cdot1}{2!}x^2=1+2x+x^2.
p=\tfrac12:\qquad(1+x)^{1/2}=1+\tfrac12 x+\frac{\tfrac12(\tfrac12-1)}{2!}x^2+\cdots =1+\tfrac12 x-\tfrac18 x^2+\cdots,
válido para |x|<1.

Resposta

1+p x+\frac{p(p-1)}{2!} x^{2}+\ldots+\frac{p(p-1)\ldots(p-n+1)}{n!} x^{n}+\ldots

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