Mostre que a série de Taylor da função
em
é dada por
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a série de Taylor (desenvolvimento em torno de
) da função
e apresenta a série esperada:
Informações dadas e objetivo claro:
Não vamos assumir nada além do enunciado: precisamos produzir a série de potências centrada em
que representa
.
Passo 2
Primeiro passo técnico útil: calcular a derivada de
. Vou lembrar um método simples (diferença de funções inversas):
colocando temos
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(derivada implícita):
colocando
Logo
Mas
implica
. Portanto
Essa fórmula é fundamental: a derivada de
é
.
Passo 3
Agora vamos expandir
como série de potências. Lembra da série geométrica: para
,
Aqui escolho
. Para
temos
, então posso aplicar a fórmula:
Esse é um passo padrão: transformar em série geométrica substituindo
. A série converge para
.
Passo 4
Queremos
, não apenas sua derivada. Note que
pode ser expressa como integral da sua derivada a partir de
:
Como
, temos
Dentro do intervalo
a série para
converge uniformemente em qualquer intervalo fechado
com
. Isso permite integrar termo a termo (teorema de integração para séries uniformemente convergentes, ou simplesmente o fato de que séries de potências podem ser integradas termo a termo dentro do raio de convergência). Assim:
Passo 5
Calculo a integral simples de cada termo. Para
,
Substituindo isso na soma:
Essa é a forma padrão da série. Escrevendo os primeiros termos (colocando
) obtemos
o que bate com o enunciado.
Passo 6
Só para fechar rigorosamente: a série obtida tem raio de convergência
. Isso vem do fato de que a série para
tem raio
(porque é a série geométrica em
), e integrar termo a termo não altera o raio de convergência. Ou faça o teste da raiz: para os termos
tem-se
, exigindo
. Nos pontos
a série converge condicionalmente (por exemplo
dá a série alternada que soma
), mas para a validade do desenvolvimento em série de potências consideramos o intervalo de convergência
.
Passo 7
Resumo do raciocínio em uma linha: derivar
dá
; expandir essa função em série geométrica
para
; integrar termo a termo de
a
e obter
, que é exatamente a série pedida.