Mostre que a série de Taylor da função f(x)=\arctan (x) em x=0 é dada por
x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\ldots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+\ldots

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a série de Taylor (desenvolvimento em torno de x=0) da função f(x)=\arctan(x) e apresenta a série esperada:
x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\ldots+(-1)^{n}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+\ldots
Informações dadas e objetivo claro:
\text{Dado: } f(x)=\arctan(x).\qquad \text{Objetivo: encontrar o desenvolvimento de Taylor de }f\text{ em }0.
Não vamos assumir nada além do enunciado: precisamos produzir a série de potências centrada em 0 que representa \arctan(x).

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: calcular a derivada de \arctan(x). Vou lembrar um método simples (diferença de funções inversas):
colocando y=\arctan(x) temos \tan(y)=x. Diferenciando ambos os lados em relação a x (derivada implícita):
\operatorname{sec}^{2}(y)\frac{dy}{dx}=1.
Logo
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}(y)}=\cos^{2}(y).
Mas \tan(y)=x implica \operatorname{sec}^{2}(y)=1+\tan^{2}(y)=1+x^{2}. Portanto
\frac{d}{dx}\big(\arctan(x)\big)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Essa fórmula é fundamental: a derivada de \arctan é \dfrac{1}{1+x^{2}}.

Passo 3

Agora vamos expandir \dfrac{1}{1+x^{2}} como série de potências. Lembra da série geométrica: para |t|<1,
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty} t^{n}.
Aqui escolho t=-x^{2}. Para |x|<1 temos |t|=|x|^{2}<1, então posso aplicar a fórmula:
\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{1}{1-(-x^{2})}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x^{2})^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}.
Esse é um passo padrão: transformar em série geométrica substituindo t=-x^{2}. A série converge para |x|<1.

Passo 4

Queremos \arctan(x), não apenas sua derivada. Note que \arctan(x) pode ser expressa como integral da sua derivada a partir de 0:
\arctan(x)=\arctan(0)+\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt.
Como \arctan(0)=0, temos
\arctan(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt.
Dentro do intervalo |t|<1 a série para \dfrac{1}{1+t^{2}} converge uniformemente em qualquer intervalo fechado [-a,a] com a<1. Isso permite integrar termo a termo (teorema de integração para séries uniformemente convergentes, ou simplesmente o fato de que séries de potências podem ser integradas termo a termo dentro do raio de convergência). Assim:
\arctan(x)=\int_{0}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{2n}\right)dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt.

Passo 5

Calculo a integral simples de cada termo. Para n\ge 0,
\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt=\left[\frac{t^{2n+1}}{2n+1}\right]_{0}^{x}=\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Substituindo isso na soma:
\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Essa é a forma padrão da série. Escrevendo os primeiros termos (colocando n=0,1,2,3) obtemos
\arctan(x)=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\cdots
o que bate com o enunciado.

Passo 6

Só para fechar rigorosamente: a série obtida tem raio de convergência 1. Isso vem do fato de que a série para \dfrac{1}{1+x^{2}} tem raio 1 (porque é a série geométrica em x^{2}), e integrar termo a termo não altera o raio de convergência. Ou faça o teste da raiz: para os termos a_{n}=(-1)^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1} tem-se \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=|x|^{2}, exigindo |x|<1. Nos pontos x=\pm1 a série converge condicionalmente (por exemplo x=1 dá a série alternada que soma \pi/4), mas para a validade do desenvolvimento em série de potências consideramos o intervalo de convergência |x|<1.

Passo 7

Resumo do raciocínio em uma linha: derivar \arctan(x) \dfrac{1}{1+x^{2}}; expandir essa função em série geométrica \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n} para |x|<1; integrar termo a termo de 0 a x e obter \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}, que é exatamente a série pedida.

Resposta

x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\ldots+(-1)^{n}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+\ldots

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