Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}-1}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}-1}-x\bigr).
Esse tipo de limite gera uma indeterminação da forma +\infty - \infty, então vamos usar racionalização para eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Multiplicamos e dividimos pela conjugada \sqrt{x^{2}-1}+x:
\sqrt{x^{2}-1}-x = \frac{(\sqrt{x^{2}-1}-x)(\sqrt{x^{2}-1}+x)}{\sqrt{x^{2}-1}+x} = \frac{x^{2}-1 - x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}+x} = -\,\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}+x}.

Passo 3

Para x\to+\infty, temos \sqrt{x^{2}-1}\sim x, logo o denominador \sqrt{x^{2}-1}+x\sim 2x\to+\infty. Portanto,
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}+x}\Bigr) = 0.

Resposta

0

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