Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\sqrt{x^{2}-1}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to+\infty}x\bigl(\sqrt{x^{2}-1}-x\bigr).
Aqui temos uma forma indeterminada do tipo \infty-\infty. Vamos usar racionalização para eliminar essa indeterminação e depois fatorar x.

Passo 2

Racionalizamos a diferença multiplicando e dividindo pelo conjugado \sqrt{x^{2}-1}+x:
x\bigl(\sqrt{x^{2}-1}-x\bigr) = x \cdot \frac{\bigl(\sqrt{x^{2}-1}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^{2}-1}+x\bigr)}{\sqrt{x^{2}-1}+x} = x \cdot \frac{x^{2}-1 - x^{2}}{\sqrt{x^{2}-1}+x} = x \cdot \frac{-1}{\sqrt{x^{2}-1}+x}.

Passo 3

Isso leva a
x\bigl(\sqrt{x^{2}-1}-x\bigr) = -\,\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}+x}.

Passo 4

Fatoramos x dentro da raiz no denominador:
\sqrt{x^{2}-1} = x\,\sqrt{1 - \tfrac{1}{x^{2}}},
então
-\,\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}+x} = -\,\frac{x}{x\bigl(\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}+1\bigr)} = -\,\frac{1}{\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}+1}.

Passo 5

Agora basta tomar o limite quando x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(-\,\frac{1}{\sqrt{1-\tfrac{1}{x^{2}}}+1}\Bigr) = -\,\frac{1}{\sqrt{1-0}+1} = -\,\frac{1}{1+1} = -\tfrac{1}{2}.

Resposta

-\,\tfrac{1}{2}

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