Determine todas as assíntotas das funções abaixo.
f(x)= \begin{cases}x+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}, & \text { se } x<0 \\\ \frac{x-4}{\sqrt{x}-2} & \text { se } x \geq 0, x \neq 4\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= \begin{cases} x+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}},&x<0,\\[6pt] \dfrac{x-4}{\sqrt{x}-2},&x\ge0,\;x\neq4. \end{cases}
Queremos todas as assíntotas: verticais, horizontais e oblíquas. Vamos analisar cada ramo separadamente e também o comportamento nas fronteiras (em x=0 e x=4).]

Passo 2

Analisando o ramo x<0:
Para x\to0^-, temos \sqrt[3]{x}\to0^-, logo
\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\to -\infty
e x\to0. Portanto
f(x)=x+\frac1{\sqrt[3]{x}}\;\longrightarrow\;-\,\infty
quando x\to0^-. Concluímos que existe uma assíntota vertical em x=0.

Passo 3

Ainda no ramo x<0, estudamos x\to-\infty para achar assíntota oblíqua. Calculemos
m=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to-\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x\,\sqrt[3]{x}}\Bigr) =1
e o termo independente
q=\lim_{x\to-\infty}\bigl(f(x)-m\,x\bigr) =\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{x}} =0.
Portanto existe a assíntota oblíqua y=x.

Passo 4

Agora o ramo x\ge0, x\neq4:
\frac{x-4}{\sqrt{x}-2} =\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}-2} =\sqrt{x}+2,
para \sqrt{x}\neq2. Logo f(x)=\sqrt{x}+2 neste ramo, que dispara para +\infty quando x\to+\infty (não há assíntota horizontal nem oblíqua finita). Em x=4 há apenas uma descontinuidade removível (buraco), pois \lim_{x\to4}f(x)=\sqrt{4}+2=4, não sendo vertical.

Resposta

Assíntotas:
x =0 (vertical)
y=x (oblíqua)

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