Calcule os limites abaixo :
(1,0 ponto) \lim _{x \rightarrow-\infty}\left[\frac{-\cos x}{x^{6}}+60\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\left[\frac{-\cos x}{x^{6}}+60\right].
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão envolve \cos x (que oscila entre -1 e 1).
  • O expoente no denominador é 6, par, então para x\to -\infty tem-se x^{6}\to +\infty.
  • Queremos o limite quando x tende para -\infty.

Passo 2

Uso a propriedade de limites: se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem, então
\lim_{x\to a}\big(f(x)+g(x)\big)=\lim_{x\to a} f(x)+\lim_{x\to a} g(x).
Aplicando aqui, escrevo a expressão como soma de dois termos:
\frac{-\cos x}{x^{6}}+60.
Vou calcular separadamente \lim_{x\to -\infty}\dfrac{-\cos x}{x^{6}} e \lim_{x\to -\infty}60.

Passo 3

O limite de uma constante é a própria constante, logo
\lim_{x\to -\infty}60=60.
(Isto é direto: o valor não depende de x.)

Passo 4

Agora mostro que o termo \dfrac{-\cos x}{x^{6}} tende a 0. Primeiro uso que \cos x é limitado:
-1\le \cos x\le 1.
Multiplicando por -1 obtemos
-1\le -\cos x\le 1.

Passo 5

Como x^{6}>0 para todo x\neq 0 e em particular para x\to -\infty, posso dividir a desigualdade por x^{6} sem inverter sinais:
-\frac{1}{x^{6}}\le \frac{-\cos x}{x^{6}}\le \frac{1}{x^{6}}.
Para x\to -\infty tem-se \dfrac{1}{x^{6}}\to 0 e -\dfrac{1}{x^{6}}\to 0. Pelo Teorema do Confronto (Squeeze Theorem), a função no meio também tende a 0:
\lim_{x\to -\infty}\frac{-\cos x}{x^{6}}=0.
Observação didática rápida: o fato de x\to -\infty não atrapalha porque x^{6} é par e torna o denominador positivo e muito grande; a oscilação do \cos x fica “amortecida” por esse denominador.

Passo 6

Somando os limites obtidos nos passos anteriores:
\lim_{x\to -\infty}\left[\frac{-\cos x}{x^{6}}+60\right]=\underbrace{\lim_{x\to -\infty}\frac{-\cos x}{x^{6}}}_{0}+\underbrace{\lim_{x\to -\infty}60}_{60}=0+60=60.
Pequeno reforço prático: limites do tipo \dfrac{\text{função limitada}}{x^{n}}çã com n>0 e x\to\pm\infty costumam dar 0. Ex.: \lim_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0.

Resposta

60

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