Calcule os limites abaixo :
(1,0 ponto)
(1,0 ponto)
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são os dados que temos. O problema pede o limite
Informações relevantes que o enunciado nos dá:
- Temos a expressão racional
. - O ponto de interesse é
. - Se substituirmos
diretamente, o numerador fica e o denominador fica . Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada .
Passo 2
O que significa termos a forma indeterminada
e como proceder na prova.
- Quando a substituição direta leva a
, não podemos concluir o valor do limite imediatamente: isso indica que tanto numerador quanto denominador têm um fator comum que zera em , ou que a expressão precisa ser simplificada. - Métodos possíveis: fatorar e simplificar (método algébrico básico) ou aplicar a Regra de L’Hôpital.
- Vou escolher fatoração e simplificação porque é o método mais elementar e rápido aqui (não precisa de derivadas), e é exatamente o tipo de técnica que costuma cair em prova.
Passo 3
Fatorando o numerador passo a passo.
- Queremos fatorar
. Para fatorar um polinômio quadrático buscamos dois números que multiplicados dão e somados dão . - No nosso caso,
e . Dois números que multiplicam e somam são e . - Assim
Passo 4
Fatorando o denominador usando a diferença de cubos.
- Lembre que a identidade da diferença de cubos é
onde
e
são quaisquer números ou expressões.
- Aqui temos
. Note que , então é um caso de com e . Aplicando a identidade:
Passo 5
Simplificação da expressão e avaliação do limite.
- Substituindo as fatorações obtidas:
- Para
podemos cancelar o fator comum , obtendo a função simplificada
- Agora o limite quando
da função simplificada é dado por substituição direta (a expressão agora é contínua em ):
- Interpretação final: o zero comum em numerador e denominador era uma descontinuidade removível; ao cancelar obtemos a expressão cujo valor em
é o limite procurado.
Passo 6
Um exemplo extra rápido para fixar a técnica (útil na prova).
- Considere
. Aqui . Cancelando para fica , e o limite é . - Moral: sempre que surgir
em uma razão polinomial, tente fatorar e simplificar antes de partir para derivadas.