Calcule os limites abaixo :
(1,0 ponto) \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-3 x+2}{x^{3}-8}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são os dados que temos. O problema pede o limite
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-3x+2}{x^{3}-8}.
Informações relevantes que o enunciado nos dá:
  • Temos a expressão racional \dfrac{x^{2}-3x+2}{x^{3}-8}.
  • O ponto de interesse é x\to 2.
  • Se substituirmos x=2 diretamente, o numerador fica 2^{2}-3\cdot2+2=4-6+2=0 e o denominador fica 2^{3}-8=8-8=0. Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada 0/0.

Passo 2

O que significa termos a forma indeterminada 0/0 e como proceder na prova.
  • Quando a substituição direta leva a 0/0, não podemos concluir o valor do limite imediatamente: isso indica que tanto numerador quanto denominador têm um fator comum que zera em x=2, ou que a expressão precisa ser simplificada.
  • Métodos possíveis: fatorar e simplificar (método algébrico básico) ou aplicar a Regra de L’Hôpital.
  • Vou escolher fatoração e simplificação porque é o método mais elementar e rápido aqui (não precisa de derivadas), e é exatamente o tipo de técnica que costuma cair em prova.

Passo 3

Fatorando o numerador passo a passo.
  • Queremos fatorar x^{2}-3x+2. Para fatorar um polinômio quadrático x^{2}+bx+c buscamos dois números que multiplicados dão c e somados dão b.
  • No nosso caso, b=-3 e c=2. Dois números que multiplicam 2 e somam -3 são -1 e -2.
  • Assim
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).

Passo 4

Fatorando o denominador usando a diferença de cubos.
  • Lembre que a identidade da diferença de cubos é
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}),
onde a e b são quaisquer números ou expressões.
  • Aqui temos x^{3}-8. Note que 8=2^{3}, então é um caso de a^{3}-b^{3} com a=x e b=2. Aplicando a identidade:
x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4).

Passo 5

Simplificação da expressão e avaliação do limite.
  • Substituindo as fatorações obtidas:
\frac{x^{2}-3x+2}{x^{3}-8}=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x^{2}+2x+4)}.
  • Para x\neq 2 podemos cancelar o fator comum (x-2), obtendo a função simplificada
\frac{x-1}{x^{2}+2x+4}.
  • Agora o limite quando x\to 2 da função simplificada é dado por substituição direta (a expressão agora é contínua em x=2):
\lim_{x\to 2}\frac{x-1}{x^{2}+2x+4}=\frac{2-1}{2^{2}+2\cdot2+4}=\frac{1}{4+4+4}=\frac{1}{12}.
  • Interpretação final: o zero comum em numerador e denominador era uma descontinuidade removível; ao cancelar obtemos a expressão cujo valor em x=2 é o limite procurado.

Passo 6

Um exemplo extra rápido para fixar a técnica (útil na prova).
  • Considere \lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}-1}{x-1}. Aqui x^{2}-1=(x-1)(x+1). Cancelando (x-1) para x\neq1 fica x+1, e o limite é 1+1=2.
  • Moral: sempre que surgir 0/0 em uma razão polinomial, tente fatorar e simplificar antes de partir para derivadas.

Resposta

\dfrac{1}{12}

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