Calcule os limites abaixo :
(1,0 ponto) \lim _{x \rightarrow 5} \operatorname{tg}\left(\pi \frac{x^{2}-25}{x^{2}-5 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 5} \operatorname{tg}\!\left(\pi\frac{x^{2}-25}{x^{2}-5x}\right).
Informações dadas e o que precisamos: a função dentro da tangente é \pi\frac{x^{2}-25}{x^{2}-5x}. Vamos estudar o comportamento dessa expressão quando x se aproxima de 5 e então aplicar propriedades de limite e continuidade da função \operatorname{tg} (tangente) para obter o resultado final.

Passo 2

Primeiro simplificar a fração dentro da tangente, fatorando numerador e denominador. Observe que
x^{2}-25=(x-5)(x+5)
e
x^{2}-5x = x(x-5).
Para x\neq 5 podemos cancelar o fator comum (x-5). Assim, para x próximo de 5 (mas x\neq5),
\pi\frac{x^{2}-25}{x^{2}-5x} = \pi\frac{(x-5)(x+5)}{x(x-5)} = \pi\frac{x+5}{x}.

Passo 3

Agora calculamos o limite da expressão simplificada quando x\to 5. Usamos a regra de substituição (limite de uma razão em que o denominador não se anula no ponto limite):
\lim_{x\to 5}\pi\frac{x+5}{x} = \pi\frac{5+5}{5} = \pi\frac{10}{5} = 2\pi.

Passo 4

Explicar por que podemos passar a tangente para fora do limite: a função \operatorname{tg}(u) é contínua em todo ponto u tal que \cos u \neq 0. Avaliando em u=2\pi temos \cos(2\pi)=1\neq0, portanto \operatorname{tg} é contínua em 2\pi. Logo, se a parte interna tende a 2\pi, então
\lim_{x\to 5}\operatorname{tg}\!\left(\pi\frac{x^{2}-25}{x^{2}-5x}\right) = \operatorname{tg}\!\left(\lim_{x\to 5}\pi\frac{x^{2}-25}{x^{2}-5x}\right) = \operatorname{tg}(2\pi).

Passo 5

Calcular \operatorname{tg}(2\pi). Sabendo que \operatorname{tg}u=\dfrac{\sin u}{\cos u} e que \sin(2\pi)=0 e \cos(2\pi)=1, obtemos
\operatorname{tg}(2\pi)=\frac{\sin(2\pi)}{\cos(2\pi)}=\frac{0}{1}=0.

Resposta

0

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