Calcule os limites abaixo:
(a) (1,0 ponto)
(a) (1,0 ponto)
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
- O enunciado pede calcular o limite
- Observação direta das expressões:
e . - Nota importante (informação relevante): ao substituir
diretamente na fração obtém-se , que é uma forma indeterminada — então é preciso manipular a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 2
Vou simplificar algebraicamente a fração dentro da secante — isso é seguro para estudar o comportamento quando
se aproxima de
(mas não vale substituir
enquanto houver cancelamento).
Fatorando:
Para
podemos cancelar o fator
, obtendo
Portanto, para
próximo de
(mas não igual a
) a função original vale
Explicação didática curtinha: cancelar um fator comum é permitido desde que se lembre que o ponto onde foi cancelado (
) pode ser um ponto onde a função original não está definida — isso não impede calcular o limite, pois o limite só se preocupa com valores de
próximos, não exatamente iguais.
Passo 3
Vou usar a propriedade de limites para funções compostas. Regra útil:
Se
e
é contínua em
, então
Aqui
e
. A função
é contínua em um ponto
sempre que
, porque
. Portanto, o plano é:
- calcular
; - verificar que
; - então concluir que
.
Passo 4
Calculo do limite interno
. Essa é uma função racional que é definida em pontos próximos de
(exceto em
, que não nos interessa aqui porque estamos aproximando
). Como não há indeterminação depois da simplificação, basta substituir:
Passo 5
Multiplicando por
, obtemos o limite do argumento da secante:
Agora verifico a continuidade da secante nesse ponto:
, logo
é contínua em
.
Passo 6
Pelo teorema de composição de limites (Passo 3) e pela verificação de continuidade, tenho
Como
, concluo que o limite vale
.
Pequena motivação final: apesar de a expressão original dar
ao substituir
, o cancelamento mostrou que para
próximos (mas diferentes de
) a função se aproxima de
; como a secante é contínua em
, o limite existe e é
.