Calcule os limites abaixo:
(a) (1,0 ponto) \lim _{x \rightarrow-3} \operatorname{sec} \left(\pi \frac{x^{2}-9}{x^{2}+3 x}\right)

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -3} \operatorname{sec}\!\left(\pi\frac{x^{2}-9}{x^{2}+3x}\right).
  • Observação direta das expressões: \,x^{2}-9=(x-3)(x+3)\, e \,x^{2}+3x = x(x+3)\,.
  • Nota importante (informação relevante): ao substituir x=-3 diretamente na fração \dfrac{x^{2}-9}{x^{2}+3x} obtém-se \dfrac{0}{0}, que é uma forma indeterminada — então é preciso manipular a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Vou simplificar algebraicamente a fração dentro da secante — isso é seguro para estudar o comportamento quando x se aproxima de -3 (mas não vale substituir x=-3 enquanto houver cancelamento).
Fatorando:
x^{2}-9=(x-3)(x+3), \qquad x^{2}+3x = x(x+3).
Para x\neq -3 podemos cancelar o fator (x+3), obtendo
\frac{x^{2}-9}{x^{2}+3x}=\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)}=\frac{x-3}{x},\qquad (x\neq -3).
Portanto, para x próximo de -3 (mas não igual a -3) a função original vale
\operatorname{sec}\!\left(\pi\frac{x^{2}-9}{x^{2}+3x}\right)=\operatorname{sec}\!\left(\pi\frac{x-3}{x}\right).
Explicação didática curtinha: cancelar um fator comum é permitido desde que se lembre que o ponto onde foi cancelado ( x=-3) pode ser um ponto onde a função original não está definida — isso não impede calcular o limite, pois o limite só se preocupa com valores de x próximos, não exatamente iguais.

Passo 3

Vou usar a propriedade de limites para funções compostas. Regra útil:
Se \lim_{x\to a} g(x)=L e f é contínua em L, então
\lim_{x\to a} f(g(x))=f(L).
Aqui g(x)=\pi\frac{x-3}{x} e f(t)=\operatorname{sec}(t). A função f(t)=\operatorname{sec}(t) é contínua em um ponto t sempre que \cos t\neq 0, porque \operatorname{sec}(t)=1/\cos t. Portanto, o plano é:
  1. calcular L=\lim_{x\to -3}\pi\frac{x-3}{x};
  2. verificar que \cos L\neq 0;
  3. então concluir que \lim_{x\to -3}\operatorname{sec}(\pi\frac{x-3}{x})=\operatorname{sec}(L).

Passo 4

Calculo do limite interno \lim_{x\to -3}\dfrac{x-3}{x}. Essa é uma função racional que é definida em pontos próximos de -3 (exceto em x=0, que não nos interessa aqui porque estamos aproximando -3). Como não há indeterminação depois da simplificação, basta substituir:
\lim_{x\to -3}\frac{x-3}{x}=\frac{-3-3}{-3}=\frac{-6}{-3}=2.

Passo 5

Multiplicando por \pi, obtemos o limite do argumento da secante:
\lim_{x\to -3}\pi\frac{x-3}{x}=\pi\cdot 2=2\pi.
Agora verifico a continuidade da secante nesse ponto: \cos(2\pi)=1\neq 0, logo \operatorname{sec}(t) é contínua em t=2\pi.

Passo 6

Pelo teorema de composição de limites (Passo 3) e pela verificação de continuidade, tenho
\lim_{x\to -3}\operatorname{sec}\!\left(\pi\frac{x^{2}-9}{x^{2}+3x}\right) =\lim_{x\to -3}\operatorname{sec}\!\left(\pi\frac{x-3}{x}\right) =\operatorname{sec}\!\big(2\pi\big).
Como \operatorname{sec}(2\pi)=\dfrac{1}{\cos(2\pi)}=\dfrac{1}{1}=1, concluo que o limite vale 1.
Pequena motivação final: apesar de a expressão original dar 0/0 ao substituir x=-3, o cancelamento mostrou que para x próximos (mas diferentes de -3) a função se aproxima de \operatorname{sec}(2\pi); como a secante é contínua em 2\pi, o limite existe e é 1.

Resposta

1

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