\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^{7}+3 x^{6}+4 x}{2 x^{5}+x^{3}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se calcular o limite quando x tende a -\infty da expressão
\frac{5x^{7}+3x^{6}+4x}{2x^{5}+x^{3}}.
  • Informação útil imediata: polinômios envolvidos têm graus diferentes (numerador grau 7, denominador grau 5). Nada mais é pedido além do valor do limite.

Passo 2

Estratégia algébrica simples (sem pular etapas): fatorar uma potência de x comum aos dois polinômios para tornar explícito o comportamento para x\to-\infty. Uma escolha natural é fatorar x^{5} (o menor expoente que aparece em ambos os termos de maior ordem):
\frac{5x^{7}+3x^{6}+4x}{2x^{5}+x^{3}} = \frac{x^{5}\bigl(5x^{2}+3x+\dfrac{4}{x^{4}}\bigr)}{x^{5}\bigl(2+\dfrac{1}{x^{2}}\bigr)}.

Passo 3

Simplificar cancelando x^{5} (para x\neq0, e aqui estamos olhando x\to-\infty, então x não é zero):
\frac{5x^{7}+3x^{6}+4x}{2x^{5}+x^{3}} = \frac{5x^{2}+3x+\dfrac{4}{x^{4}}}{2+\dfrac{1}{x^{2}}}.
Isto já mostra que o crescimento principal vem de um termo em x^{2} no numerador.

Passo 4

Deixar explícito o fator que cresce sem limite: fatorar x^{2} do numerador da fração obtida:
\frac{5x^{2}+3x+\dfrac{4}{x^{4}}}{2+\dfrac{1}{x^{2}}} = x^{2}\cdot\frac{5+\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^{6}}}{2+\dfrac{1}{x^{2}}}.
Aqui escrevi o numerador como x^{2} vezes uma expressão que tende a uma constante quando x\to-\infty.

Passo 5

Analisar os limites das frações pequenas que aparecem:
  • Quando x\to-\infty tem-se \dfrac{1}{x}\to0, \dfrac{1}{x^{2}}\to0, \dfrac{1}{x^{6}}\to0. Explicação curta: números constantes divididos por uma quantidade que cresce em módulo sem limite tendem a zero.
    Logo
\frac{5+\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^{6}}}{2+\dfrac{1}{x^{2}}}\longrightarrow\frac{5+0+0}{2+0}=\frac{5}{2}.

Passo 6

Combinar com o fator x^{2}. Para x\to-\infty temos x^{2}\to+\infty (o quadrado de um número com módulo grande é positivo e cresce sem limite). Assim, juntando,
x^{2}\cdot\frac{5+\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^{6}}}{2+\dfrac{1}{x^{2}}} \longrightarrow x^{2}\cdot\frac{5}{2}.
Como x^{2}\to+\infty e \dfrac{5}{2}>0, o produto tende a +\infty.

Resposta

+\infty

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