Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede-se calcular o limite quando
tende a da expressão
- Informação útil imediata: polinômios envolvidos têm graus diferentes (numerador grau
, denominador grau ). Nada mais é pedido além do valor do limite.
Passo 2
Estratégia algébrica simples (sem pular etapas): fatorar uma potência de
comum aos dois polinômios para tornar explícito o comportamento para
. Uma escolha natural é fatorar
(o menor expoente que aparece em ambos os termos de maior ordem):
Passo 3
Simplificar cancelando
(para
, e aqui estamos olhando
, então
não é zero):
Isto já mostra que o crescimento principal vem de um termo em
no numerador.
Passo 4
Deixar explícito o fator que cresce sem limite: fatorar
do numerador da fração obtida:
Aqui escrevi o numerador como
vezes uma expressão que tende a uma constante quando
.
Passo 5
Analisar os limites das frações pequenas que aparecem:
- Quando
tem-se , , . Explicação curta: números constantes divididos por uma quantidade que cresce em módulo sem limite tendem a zero.
Logo
Passo 6
Combinar com o fator
. Para
temos
(o quadrado de um número com módulo grande é positivo e cresce sem limite). Assim, juntando,
Como
e
, o produto tende a
.