lim (x, y) (0,0) 4 x^4 yx^8+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) 4x^4yx^8+y^2
Isso é um problema de limites em várias variáveis, onde vamos verificar se o valor depende do caminho de aproximação a (0,0).

Passo 2

Teste pelo caminho y=0. Substituindo em
4x^4yx^8+y^2
vem
4x^4cdot 0x^8+0^2=0
Logo, ao longo de y=0, o limite é 0.

Passo 3

Teste pelo caminho y=kx^4, com kneq 0. Substituindo:
4x^4(kx^4)x^8+(kx^4)^2 =4k,x^8x^8+k^2x^8 =4k1+k^2
Esse valor depende de k.

Passo 4

Como ao variar k o limite ao longo de y=kx^4 assume valores diferentes (por exemplo 0 para k=0 e 2 para k=1), não existe um valor único.

Resposta

O limite não existe.

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