A expressão envolve uma razão com valor absoluto \left|x^{2}-1\right|.
O ponto onde se toma o limite é x=1, e é o limite pela esquerda (valores de x menores que 1 e próximos de 1).
Passo 2
Lembrete útil sobre valor absoluto: para qualquer número real a\) vale
\[|a|=\begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Ou seja, dentro de uma expressão, para substituir |a|\] é preciso saber o sinal de \(a na vizinhança do ponto considerado. Aqui a=x^{2}-1.]
Passo 3
Vamos analisar o sinal de x^{2}-1 quando x\to 1^{-}. Fatorando:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Se x está à esquerda de 1 e bem próximo de 1, então (x-1)<0 enquanto (x+1)>0 (porque x+1 está perto de 2). Portanto, para x próximos de 1 pela esquerda,
x^{2}-1<0.
Passo 4
Como x^{2}-1<0 nessa vizinhança (exceto exatamente em x=1, onde a expressão não é bem definida), temos