Calcule os limites abaixo.
\quad \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x^{2}-1}{\left|x^{2}-1\right|}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite lateral pela esquerda em x=1 da função
f(x)=\frac{x^{2}-1}{\left|x^{2}-1\right|}.
Ou seja, queremos calcular
\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x^{2}-1}{\left|x^{2}-1\right|}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão envolve uma razão com valor absoluto \left|x^{2}-1\right|.
  • O ponto onde se toma o limite é x=1, e é o limite pela esquerda (valores de x menores que 1 e próximos de 1).

Passo 2

Lembrete útil sobre valor absoluto: para qualquer número real a\) vale \[|a|=\begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Ou seja, dentro de uma expressão, para substituir |a|\] é preciso saber o sinal de \(a na vizinhança do ponto considerado. Aqui a=x^{2}-1.]

Passo 3

Vamos analisar o sinal de x^{2}-1 quando x\to 1^{-}. Fatorando:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Se x está à esquerda de 1 e bem próximo de 1, então (x-1)<0 enquanto (x+1)>0 (porque x+1 está perto de 2). Portanto, para x próximos de 1 pela esquerda,
x^{2}-1<0.

Passo 4

Como x^{2}-1<0 nessa vizinhança (exceto exatamente em x=1, onde a expressão não é bem definida), temos
\left|x^{2}-1\right|=-(x^{2}-1).
Substituindo na função:
\frac{x^{2}-1}{\left|x^{2}-1\right|}=\frac{x^{2}-1}{-(x^{2}-1)}.
Para x\neq 1 na vizinhança considerada pode-se cancelar x^{2}-1 (é diferente de zero), ficando
\frac{x^{2}-1}{-(x^{2}-1)}=-1.

Passo 5

Concluímos que, para todo x suficientemente próximo de 1 pela esquerda (mas x\neq 1), a expressão vale exatamente -1. Portanto o limite lateral é
\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x^{2}-1}{\left|x^{2}-1\right|}=-1.
Se quiser conferir numericamente: para x=0{,}9 a fração vale -1, para x=0{,}99 vale -1, etc.

Resposta

-1

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