Calcule os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte: calcular a limite à esquerda
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão é a função racional
. - Devemos avaliar o comportamento quando
se aproxima de pela esquerda (ou seja, e tende para ).
A resolução começa a partir dessas informações; a seguir vamos analisar separadamente numerador e denominador e usar uma técnica simples para entender o sinal e o crescimento da fração.
Passo 2
Análise do numerador: polinômios são funções contínuas, então podemos substituir
diretamente para saber o valor ao qual o numerador tende. Calcula-se
Portanto o numerador tende para
, que é um número positivo e diferente de zero.
Passo 3
Análise do denominador: escrevendo o denominador como
, quando
temos
, logo
é um número negativo e tende a
pela esquerda (tende a
com sinal negativo). Em palavras: o denominador fica cada vez mais próximo de zero, mas negativo.
Passo 4
Regra geral e aplicação: se numa fração o numerador tende a um número finito não nulo e o denominador tende a zero, a fração tende a infinito em módulo; o sinal do infinito é determinado pelo produto dos sinais limites do numerador e do denominador. Aqui o numerador tende a
e o denominador tende a
(negativo), então a fração tende a
. Para ver isso de modo ainda mais explícito, faça a substituição
com
. Então
Quando
temos
(porque divide-se um número positivo por um
negativo que vai para zero), enquanto
fica limitado. Logo o termo dominante é
que manda toda a expressão para
.
Passo 5
Interpretação prática para prova: quando vir uma razão onde o numerador tem limite finito não nulo e o denominador tende a zero, basta verificar o sinal do denominador ao aproximar-se por um lado (aqui pela esquerda) — se o denominador for negativo pequeno, o limite será
; se fosse positivo pequeno, o limite seria
. Isso evita contas longas na prova.