Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x^{2}+1}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte: calcular a limite à esquerda
\lim_{x\to 2^{-}} \frac{x^{2}+1}{x-2}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão é a função racional \dfrac{x^{2}+1}{x-2}.
  • Devemos avaliar o comportamento quando x se aproxima de 2 pela esquerda (ou seja, x<2 e tende para 2).
    A resolução começa a partir dessas informações; a seguir vamos analisar separadamente numerador e denominador e usar uma técnica simples para entender o sinal e o crescimento da fração.

Passo 2

Análise do numerador: polinômios são funções contínuas, então podemos substituir x=2 diretamente para saber o valor ao qual o numerador tende. Calcula-se
\lim_{x\to 2}(x^{2}+1)=2^{2}+1=5.
Portanto o numerador tende para \,5, que é um número positivo e diferente de zero.

Passo 3

Análise do denominador: escrevendo o denominador como x-2, quando x\to2^{-} temos x<2, logo x-2 é um número negativo e tende a 0 pela esquerda (tende a 0 com sinal negativo). Em palavras: o denominador fica cada vez mais próximo de zero, mas negativo.

Passo 4

Regra geral e aplicação: se numa fração o numerador tende a um número finito não nulo e o denominador tende a zero, a fração tende a infinito em módulo; o sinal do infinito é determinado pelo produto dos sinais limites do numerador e do denominador. Aqui o numerador tende a 5>0 e o denominador tende a 0^{-} (negativo), então a fração tende a -\infty. Para ver isso de modo ainda mais explícito, faça a substituição x=2+h com h\to0^{-}. Então
\frac{x^{2}+1}{x-2}=\frac{(2+h)^{2}+1}{h}=\frac{4+4h+h^{2}+1}{h}=\frac{5+4h+h^{2}}{h}=\frac{5}{h}+4+h.
Quando h\to0^{-} temos \dfrac{5}{h}\to -\infty (porque divide-se um número positivo por um h negativo que vai para zero), enquanto 4+h fica limitado. Logo o termo dominante é \dfrac{5}{h} que manda toda a expressão para -\infty.

Passo 5

Interpretação prática para prova: quando vir uma razão onde o numerador tem limite finito não nulo e o denominador tende a zero, basta verificar o sinal do denominador ao aproximar-se por um lado (aqui pela esquerda) — se o denominador for negativo pequeno, o limite será -\infty; se fosse positivo pequeno, o limite seria +\infty. Isso evita contas longas na prova.

Resposta

-\infty

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