Calcule os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e o que isso significa:
- A função é
. - O símbolo
significa que se aproxima de vindo pela esquerda (ou seja, e se aproxima de ). - Precisamos analisar o comportamento da fração quando o denominador fica muito pequeno (tende a zero) enquanto
se aproxima de pela esquerda.
Passo 2
Analisar o numerador: como
temos, pela continuidade do polinômio
,
Portanto o numerador tende para o número finito e positivo
.
Passo 3
Analisar o denominador quando
: para
escrevemos
com
e
. Então
que tende a
pela esquerda. Em notação:
Isto significa que o denominador é um número muito pequeno e negativo quando
se aproxima de
pela esquerda.
Passo 4
Regra qualitativa para divisão por algo que tende a zero: se o numerador tende para um número finito não nulo (aqui
) e o denominador tende para
(zero negativo), então a razão tende para
. Em símbolos:
Assim, com numerador tendendo a
e denominador a
, espera-se que
Passo 5
Demonstração usando a substituição
com
, para ficar bem explícito:
Dividindo os termos:
Quando
o termo
tende a
e domina os demais termos finitos, logo toda a expressão tende a
. Isso confirma de forma algébrica a conclusão do passo anterior.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para intuir: escolha
. Então
quando
. Isso mostra com uma sequência concreta que os valores da função divergem para
ao aproximar
pela esquerda.