Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x^{2}}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2^{-}} \frac{x^{2}}{x-2}.
Informações dadas e o que isso significa:
  • A função é f(x)=\dfrac{x^{2}}{x-2}.
  • O símbolo x\to2^{-} significa que x se aproxima de 2 vindo pela esquerda (ou seja, x<2 e se aproxima de 2).
  • Precisamos analisar o comportamento da fração quando o denominador fica muito pequeno (tende a zero) enquanto x se aproxima de 2 pela esquerda.

Passo 2

Analisar o numerador: como x\to2 temos, pela continuidade do polinômio x^{2},
\lim_{x\to2} x^{2} = 2^{2} = 4.
Portanto o numerador tende para o número finito e positivo \,4.

Passo 3

Analisar o denominador quando x\to2^{-}: para x<2 escrevemos x=2-h com h>0 e h\to0^{+}. Então
x-2=(2-h)-2=-h,
que tende a 0 pela esquerda. Em notação:
\lim_{x\to2^{-}} (x-2) = 0^{-}.
Isto significa que o denominador é um número muito pequeno e negativo quando x se aproxima de 2 pela esquerda.

Passo 4

Regra qualitativa para divisão por algo que tende a zero: se o numerador tende para um número finito não nulo (aqui 4>0) e o denominador tende para 0^{-} (zero negativo), então a razão tende para -\infty. Em símbolos:
\frac{\text{(positivo finito)}}{0^{-}} = -\infty.
Assim, com numerador tendendo a 4 e denominador a 0^{-}, espera-se que
\lim_{x\to2^{-}} \frac{x^{2}}{x-2} = -\infty.

Passo 5

Demonstração usando a substituição x=2-h com h\to0^{+}, para ficar bem explícito:
\frac{x^{2}}{x-2}=\frac{(2-h)^{2}}{(2-h)-2}=\frac{4-4h+h^{2}}{-h}=-\frac{4-4h+h^{2}}{h}.
Dividindo os termos:
-\frac{4-4h+h^{2}}{h}=-\left(\frac{4}{h}-4+h\right)=-\frac{4}{h}+4-h.
Quando h\to0^{+} o termo -\dfrac{4}{h} tende a -\infty e domina os demais termos finitos, logo toda a expressão tende a -\infty. Isso confirma de forma algébrica a conclusão do passo anterior.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para intuir: escolha x_{n}=2-\dfrac{1}{n}. Então
\frac{x_{n}^{2}}{x_{n}-2}=\frac{\left(2-\dfrac{1}{n}\right)^{2}}{-\dfrac{1}{n}}=-n\left(4-\dfrac{4}{n}+\dfrac{1}{n^{2}}\right)\to -\infty
quando n\to\infty. Isso mostra com uma sequência concreta que os valores da função divergem para -\infty ao aproximar 2 pela esquerda.

Resposta

-\infty

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