Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow 16} \frac{2 \sqrt{x}+x^{3 / 2}}{\sqrt[4]{x}+5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 16}\frac{2\sqrt{x}+x^{3/2}}{\sqrt[4]{x}+5}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma função de x que envolve potências fracionárias: \sqrt{x}=x^{1/2}, x^{3/2} e \sqrt[4]{x}=x^{1/4}.
  • O ponto onde se aproxima é x=16.
    O que precisa ser encontrado: o valor do limite quando x tende a 16.

Passo 2

Relembrando as propriedades de limites que vou usar (explicadas de forma simples):
  • Se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M, então \lim_{x\to a} (f(x)+g(x))=L+M, \qquad \lim_{x\to a} (c\cdot f(x)) = c\cdot Lpara constante c, e \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}desde que M\neq 0.
  • Funções do tipo x^r (potência com expoente real r) são contínuas para x>0. Isso significa que \lim_{x\to a} x^r = a^rsempre que a>0. Em particular, podemos substituir diretamente x=a quando a>0.
    Exemplo curto para reforçar: \lim_{x\to 3} x^{1/2}=\sqrt{3} porque a raiz quadrada é contínua em 3.

Passo 3

Verificar se posso aplicar a propriedade do quociente (denominador não nulo no limite):
Calcular \lim_{x\to16}\sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{16} = 2.
Como 2+5=7\neq 0, o denominador tende a um valor não nulo, então é seguro usar a propriedade do quociente e substituição direta via continuidade.

Passo 4

Aplicar as propriedades de limites dividindo a operação em partes:
\lim_{x\to16}\frac{2\sqrt{x}+x^{3/2}}{\sqrt[4]{x}+5} = \frac{2\lim_{x\to16}\sqrt{x}+\lim_{x\to16}x^{3/2}}{\lim_{x\to16}\sqrt[4]{x}+5}.
Agora calcular cada limite usando continuidade das potências:
\lim_{x\to16}\sqrt{x} = \sqrt{16} = 4,
\lim_{x\to16} x^{3/2} = 16^{3/2} = \bigl(16^{1/2}\bigr)^3 = 4^3 = 64,
\lim_{x\to16}\sqrt[4]{x} = 16^{1/4} = 2.

Passo 5

Substituir os valores encontrados na expressão do Passo 4:
\frac{2\cdot 4 + 64}{2 + 5} = \frac{8 + 64}{7} = \frac{72}{7}.
Portanto o limite existe e é \dfrac{72}{7}.

Resposta

\dfrac{72}{7}

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