Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{6}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o problema pede e quais informações temos. O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 1}\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{6}.
Informações relevantes:
  • A função \sqrt{x} está bem definida para x próximos de 1 (consideramos a raiz principal, não negativa).
  • Em x=1 o denominador \sqrt{x} vale 1, logo não há divisão por zero perto de x=1.
  • O objetivo é calcular o limite quando x tende a 1.

Passo 2

Estratégia: usar propriedades elementares de limites e a continuidade das funções envolvidas para poder substituir diretamente x=1. Duas ideias equivalentes que vamos justificar:
  1. Fazer a substituição t=\sqrt{x}. Como x\to1 e a função \sqrt{\cdot} é contínua em 1, então t\to1. A expressão fica mais simples em t:
\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{6} = \left(t+\frac{1}{t}\right)^{6}.
  1. Usar regras de limite: soma, quociente e potência. Vou explicar essas regras brevemente:
  • Se \lim_{u\to a} f(u)=L e \lim_{u\to a} g(u)=M então \lim_{u\to a} (f(u)+g(u))=L+M.
  • Se \lim_{u\to a} f(u)=L e L\neq 0 então \lim_{u\to a} \dfrac{1}{f(u)}=\dfrac{1}{L}.
  • Se \lim_{u\to a} h(u)=H então \lim_{u\to a} (h(u))^{n}=H^{n} para qualquer inteiro n>0.
    Essas propriedades valem porque as funções básicas envolvidas (identidade, raiz quadrada, recíproco, potência) são contínuas nos pontos considerados.

Passo 3

Avaliar o limite do interior usando a substituição t=\sqrt{x}. Como x\to1 e \sqrt{\cdot} é contínua, temos t\to1. Então precisamos calcular
\lim_{t\to 1}\left(t+\frac{1}{t}\right).
Aplicando as propriedades de limite (limite da soma é soma dos limites, e limite do recíproco quando o limite do denominador é não nulo):
\lim_{t\to 1} t = 1,\qquad \lim_{t\to 1}\frac{1}{t} = \frac{1}{1}=1.
Portanto
\lim_{t\to 1}\left(t+\frac{1}{t}\right)=1+1=2.

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade da potência: se \lim_{t\to 1} \big(t+\dfrac{1}{t}\big)=2 então
\lim_{t\to 1}\left(t+\frac{1}{t}\right)^{6} = \left(\lim_{t\to 1}\left(t+\frac{1}{t}\right)\right)^{6} = 2^{6}.
Calcule 2^{6}: 2^{2}=4, 2^{3}=8, 2^{4}=16, 2^{5}=32, 2^{6}=64.

Passo 5

Alternativa curta (mesma ideia, direta): como \sqrt{\cdot} e 1/(\cdot) e a soma e a potência são funções contínuas em x=1, pode-se simplesmente substituir x=1 diretamente:
\left(\sqrt{1}+\frac{1}{\sqrt{1}}\right)^{6} = (1+1)^{6} = 2^{6}=64.
Fica claro que o limite existe e vale 64.

Resposta

64

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