Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o problema pede e quais informações temos. O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes:
- A função
está bem definida para próximos de (consideramos a raiz principal, não negativa). - Em
o denominador vale , logo não há divisão por zero perto de . - O objetivo é calcular o limite quando
tende a .
Passo 2
Estratégia: usar propriedades elementares de limites e a continuidade das funções envolvidas para poder substituir diretamente
. Duas ideias equivalentes que vamos justificar:
- Fazer a substituição
. Como e a função é contínua em , então . A expressão fica mais simples em :
- Usar regras de limite: soma, quociente e potência. Vou explicar essas regras brevemente:
- Se
e então . - Se
e então . - Se
então para qualquer inteiro .
Essas propriedades valem porque as funções básicas envolvidas (identidade, raiz quadrada, recíproco, potência) são contínuas nos pontos considerados.
Passo 3
Avaliar o limite do interior usando a substituição
. Como
e
é contínua, temos
. Então precisamos calcular
Aplicando as propriedades de limite (limite da soma é soma dos limites, e limite do recíproco quando o limite do denominador é não nulo):
Portanto
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade da potência: se
então
Calcule
:
,
,
,
,
.
Passo 5
Alternativa curta (mesma ideia, direta): como
e
e a soma e a potência são funções contínuas em
, pode-se simplesmente substituir
diretamente:
Fica claro que o limite existe e vale
.