Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow \pi / 2}[2 \operatorname{sen} x-\operatorname{cotg} x]

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a \pi/2 da expressão
2\operatorname{sen} x - \operatorname{cotg} x.
Informações dadas:
  • A expressão é composta por \operatorname{sen} x (seno) e \operatorname{cotg} x (cotangente).
  • O ponto de interesse é x \to \pi/2.
Observação sobre notação: aqui \operatorname{cotg} x é a cotangente de x; em notação habitual de LaTeX escrevemos \cot x, e vale
\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}.

Passo 2

Lembrete das propriedades de limites que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Linearidade: se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem, então
\lim_{x\to a} \bigl( \alpha f(x) + \beta g(x)\bigr) = \alpha\lim_{x\to a} f(x) + \beta\lim_{x\to a} g(x)
para constantes \alpha,\beta.
  • Quociente: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}.
  • Continuidade de funções trigonométricas básicas: as funções \sin x e \cos x são contínuas em todo ponto real, ou seja,
\lim_{x\to a} \sin x = \sin a,\qquad \lim_{x\to a} \cos x = \cos a.
Essas propriedades permitem calcular limites de combinações de senos e cossenos por substituição, desde que não apareça divisão por zero.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to \pi/2} \operatorname{sen} x.
Pela continuidade do seno,
\lim_{x\to \pi/2} \operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1.

Passo 4

Expressar a cotangente e calcular seu limite.
Usando \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}, vamos calcular os limites do numerador e do denominador separadamente:
\lim_{x\to \pi/2} \cos x = \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \qquad \lim_{x\to \pi/2} \sin x = 1
(conforme já calculado). Como o limite do denominador é 1\neq 0, pelo propriedade do quociente:
\lim_{x\to \pi/2} \cot x = \frac{0}{1} = 0.

Passo 5

Aplicar linearidade para a expressão original.
Pelo passo 3 e passo 4, os limites dos termos existem. Usando linearidade:
\lim_{x\to \pi/2} \bigl(2\operatorname{sen} x - \cot x\bigr) = 2\lim_{x\to \pi/2}\operatorname{sen} x - \lim_{x\to \pi/2}\cot x.
Substituindo os valores obtidos:
2\cdot 1 - 0 = 2.

Resposta

2

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