Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da expressão
Informações dadas:
- A expressão é composta por
(seno) e (cotangente). - O ponto de interesse é
.
Observação sobre notação: aqui
é a cotangente de
; em notação habitual de LaTeX escrevemos
, e vale
Passo 2
Lembrete das propriedades de limites que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Linearidade: se
e existem, então
para constantes
.
- Quociente: se
e com , então
- Continuidade de funções trigonométricas básicas: as funções
e são contínuas em todo ponto real, ou seja,
Essas propriedades permitem calcular limites de combinações de senos e cossenos por substituição, desde que não apareça divisão por zero.
Passo 3
Calcular
.
Pela continuidade do seno,
Passo 4
Expressar a cotangente e calcular seu limite.
Usando
, vamos calcular os limites do numerador e do denominador separadamente:
(conforme já calculado). Como o limite do denominador é
, pelo propriedade do quociente:
Passo 5
Aplicar linearidade para a expressão original.
Pelo passo 3 e passo 4, os limites dos termos existem. Usando linearidade:
Substituindo os valores obtidos: