Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x^{2}}{x-1}-\frac{1}{x-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{x^{2}}{x-1}-\frac{1}{x-1}\right).
Informações dadas:
  • A expressão é a diferença de duas frações que têm o mesmo denominador x-1.
  • A variável x tende para 1.
    O que se deseja: calcular o limite quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Verificação direta: tentar substituir x=1 na expressão original dá divisão por zero nas duas parcelas, ou seja a expressão está indefinida em x=1. Portanto não dá para simplesmente substituir; precisamos manipular a expressão para eliminar o problema.

Passo 3

Escolha do método: como as duas parcelas têm o mesmo denominador x-1, a técnica natural é juntar as frações em uma única fração e simplificar. Essa é uma técnica padrão para limites de funções racionais que geram formas indeterminadas.

Passo 4

Juntar as frações (mesmo denominador x-1):
\frac{x^{2}}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x^{2}-1}{x-1}.
Fatorar o numerador x^{2}-1. Usamos a identidade diferença de quadrados a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Aplicando com a=x e b=1:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Cancelar o fator comum (x-1) (válido para x\neq1, que é exatamente a situação quando estudamos limite):
\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1 \qquad (x\neq1).
Observação importante: ao calcular limite \lim_{x\to1} podemos substituir pela expressão simplificada x+1, porque a simplificação vale para todos os x próximos de 1, exceto no próprio x=1.

Passo 5

Calcular o limite da função simplificada. Como x+1 é um polinômio (função contínua), basta substituir x=1:
\lim_{x\to1}(x+1)=1+1=2.
Interpretação final e dica para prova: embora as parcelas originais pareçam divergentes ao aproximar x de 1, a soma/diferença pode se simplificar e resultar em um valor finito. Sempre tente combinar frações e fatorar quando houver cancelamento possível.

Resposta

2

Exercícios relacionados