Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão a ser estudada é
. - O ponto de interesse é
. - Não há outras restrições dadas no enunciado.
Passo 2
Primeiro tenta-se a substituição direta para ver se o limite é imediato. Calculando numerador e denominador em
:
Logo, a substituição direta dá a forma indeterminada
. Quando aparece
precisamos manipular a expressão algébrica (fatorar, simplificar, usar L’Hôpital, etc.) para eliminar a indeterminação. Aqui é natural tentar fatorar.
Passo 3
Fatoramos o numerador
. Observe que há um fator comum
:
Essa fatoração é direta:
e
.
Passo 4
Substituindo a fatoração na fração original obtemos, para
tal que
,
Aqui houve um cancelamento do fator
. É importante notar que esse cancelamento é válido apenas quando
(ou seja,
). Isso não impede calcular o limite quando
, porque limite considera valores de
diferentes de
aproximando-se dele.
Passo 5
Usando propriedades de limites: se duas funções coincidem num puncto em torno de
(exceto possivelmente em
mesmo), elas têm o mesmo limite quando
. Aqui a função original é igual a
para todo
. Portanto
Além disso, polinômios são funções contínuas em todo
, então o limite da função polinomial
quando
é simplesmente o valor da função em
.
Passo 6
(Isto é um reforço didático rápido.) Exemplo parecido: para
, fatorando
e cancelando obtém-se
para
, então o limite reduz a
. Mesmo raciocínio usado neste problema.