Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{6}+x^{3}}{x^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -1}\frac{x^{6}+x^{3}}{x^{3}+1}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser estudada é \dfrac{x^{6}+x^{3}}{x^{3}+1}.
  • O ponto de interesse é x\to -1.
  • Não há outras restrições dadas no enunciado.

Passo 2

Primeiro tenta-se a substituição direta para ver se o limite é imediato. Calculando numerador e denominador em x=-1:
(-1)^{6}+(-1)^{3}=1-1=0,
(-1)^{3}+1=-1+1=0.
Logo, a substituição direta dá a forma indeterminada 0/0. Quando aparece 0/0 precisamos manipular a expressão algébrica (fatorar, simplificar, usar L’Hôpital, etc.) para eliminar a indeterminação. Aqui é natural tentar fatorar.

Passo 3

Fatoramos o numerador \,x^{6}+x^{3}. Observe que há um fator comum x^{3}:
x^{6}+x^{3}=x^{3}\bigl(x^{3}+1\bigr).
Essa fatoração é direta: x^{3}\cdot x^{3}=x^{6} e x^{3}\cdot 1=x^{3}.

Passo 4

Substituindo a fatoração na fração original obtemos, para x tal que x^{3}+1\neq 0,
\frac{x^{6}+x^{3}}{x^{3}+1}=\frac{x^{3}\bigl(x^{3}+1\bigr)}{x^{3}+1}=x^{3}.
Aqui houve um cancelamento do fator \,x^{3}+1. É importante notar que esse cancelamento é válido apenas quando x^{3}+1\neq 0 (ou seja, x\neq -1). Isso não impede calcular o limite quando x\to -1, porque limite considera valores de x diferentes de -1 aproximando-se dele.

Passo 5

Usando propriedades de limites: se duas funções coincidem num puncto em torno de a (exceto possivelmente em a mesmo), elas têm o mesmo limite quando x\to a. Aqui a função original é igual a x^{3} para todo x\neq -1. Portanto
\lim_{x\to -1}\frac{x^{6}+x^{3}}{x^{3}+1}=\lim_{x\to -1}x^{3}.
Além disso, polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}, então o limite da função polinomial x^{3} quando x\to -1 é simplesmente o valor da função em -1.

Passo 6

(Isto é um reforço didático rápido.) Exemplo parecido: para \lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}-1}{x-1}, fatorando \,x^{2}-1=(x-1)(x+1) e cancelando obtém-se x+1 para x\neq1, então o limite reduz a \lim_{x\to1}(x+1)=2. Mesmo raciocínio usado neste problema.

Resposta

-1

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