Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{2}+2 x-3}{x^{2}+5 x+6}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede o valor do limite quando x se aproxima de -2 da função racional
\frac{x^{2}+2 x-3}{x^{2}+5 x+6}.
  • Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
    • O numerador é o polinômio x^{2}+2x-3.
    • O denominador é o polinômio x^{2}+5x+6.
    • O ponto de interesse é x=-2.
  • Observação importante (sem resolver ainda): como há uma divisão, se o denominador for zero em x=-2 a substituição direta falha e será preciso outro procedimento.

Passo 2

Tentativa de substituição direta (regra básica: se a função é uma razão de polinômios e o denominador não é zero no ponto, o limite é obtido substituindo o valor).
  • Calcular o numerador em x=-2:
(-2)^{2}+2(-2)-3 = 4-4-3 = -3.
  • Calcular o denominador em x=-2:
(-2)^{2}+5(-2)+6 = 4-10+6 = 0.
Conclusão: a substituição direta dá denomina-dor 0, logo a forma não é uma forma definida e a substituição direta não resolve o limite. Precisamos manipular algebraicamente a expressão.

Passo 3

Técnica a usar: fatorar numerador e denominador (isso frequentemente resolve indeterminações ou mostra comportamento perto do ponto).
  • Como fatorar um quadrático ax^{2}+bx+c: procurar dois números cuja soma seja b e cujo produto seja a\cdot c. Aqui a=1.
  • Fatorando o numerador x^{2}+2x-3: dois números que somam 2 e multiplicam -3 são 3 e -1. Assim
x^{2}+2x-3 = (x+3)(x-1).
  • Fatorando o denominador x^{2}+5x+6: dois números que somam 5 e multiplicam 6 são 2 e 3. Assim
x^{2}+5x+6 = (x+2)(x+3).

Passo 4

Simplificar a fração usando os fatores obtidos.
  • Escrevendo a função com fatores:
\frac{x^{2}+2x-3}{x^{2}+5x+6} = \frac{(x+3)(x-1)}{(x+2)(x+3)}.
  • Como x+3 aparece no numerador e no denominador, podemos cancelar esse fator desde que x\neq -3. Para limites, isso é permitido ao considerar x próximo de -2 (não estamos no ponto x=-3), então para x perto de -2 valemos
\frac{(x+3)(x-1)}{(x+2)(x+3)} = \frac{x-1}{x+2}\qquad \text{(para \(x\) próximo de \(-2\), \(x\neq -3\))}.ó

Passo 5

Analisar o limite da expressão simplificada quando x\to -2.
  • A expressão simplificada é \dfrac{x-1}{x+2}.
  • Substituindo x=-2 na parte numérica dá x-1\to -3 (um número diferente de zero) e x+2\to 0. Portanto é o caso clássico de “não‑zero sobre número que tende a zero”, o que sugere que o valor absoluto da fração tende a infinito. Para decidir o sinal, precisamos considerar os limites laterais (sinal do denominador ao se aproximar de -2).

Passo 6

Cálculo dos limites laterais (para ver se há limite finito, infinito ou inexistente).
  • Limite pela esquerda ( x\to -2^-): então x+2<0 e muito pequeno (negativo). O numerador x-1 quando x está perto de -2 vale aproximadamente -3 (negativo). Assim temos ``negativo dividido por negativo pequeno’’ = positivo muito grande. Logo
\lim_{x\to -2^-} \frac{x-1}{x+2} = +\infty.
  • Limite pela direita ( x\to -2^+): então x+2>0 e muito pequeno (positivo). O numerador continua próximo de -3 (negativo). Assim ``negativo dividido por positivo pequeno’’ = negativo muito grande em módulo. Logo
\lim_{x\to -2^+} \frac{x-1}{x+2} = -\infty.

Passo 7

Conclusão sobre o limite bilateral:
  • Como os limites laterais não coincidem ( +\infty à esquerda e -\infty à direita), o limite bilateral quando x\to -2 não existe (nem como número finito, nem como infinito único).

Resposta

Não existe.
\displaystyle \lim_{x\to -2^-}\frac{x^{2}+2x-3}{x^{2}+5x+6}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to -2^+}\frac{x^{2}+2x-3}{x^{2}+5x+6}=-\infty

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