Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede o valor do limite quando
se aproxima de da função racional
- Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - O ponto de interesse é
.
- O numerador é o polinômio
- Observação importante (sem resolver ainda): como há uma divisão, se o denominador for zero em
a substituição direta falha e será preciso outro procedimento.
Passo 2
Tentativa de substituição direta (regra básica: se a função é uma razão de polinômios e o denominador não é zero no ponto, o limite é obtido substituindo o valor).
- Calcular o numerador em
:
- Calcular o denominador em
:
Conclusão: a substituição direta dá denomina-dor
, logo a forma não é uma forma definida e a substituição direta não resolve o limite. Precisamos manipular algebraicamente a expressão.
Passo 3
Técnica a usar: fatorar numerador e denominador (isso frequentemente resolve indeterminações ou mostra comportamento perto do ponto).
- Como fatorar um quadrático
: procurar dois números cuja soma seja e cujo produto seja . Aqui . - Fatorando o numerador
: dois números que somam e multiplicam são e . Assim
- Fatorando o denominador
: dois números que somam e multiplicam são e . Assim
Passo 4
Simplificar a fração usando os fatores obtidos.
- Escrevendo a função com fatores:
- Como
aparece no numerador e no denominador, podemos cancelar esse fator desde que . Para limites, isso é permitido ao considerar próximo de (não estamos no ponto ), então para perto de valemos
Passo 5
Analisar o limite da expressão simplificada quando
.
- A expressão simplificada é
. - Substituindo
na parte numérica dá (um número diferente de zero) e . Portanto é o caso clássico de “não‑zero sobre número que tende a zero”, o que sugere que o valor absoluto da fração tende a infinito. Para decidir o sinal, precisamos considerar os limites laterais (sinal do denominador ao se aproximar de ).
Passo 6
Cálculo dos limites laterais (para ver se há limite finito, infinito ou inexistente).
- Limite pela esquerda (
): então e muito pequeno (negativo). O numerador quando está perto de vale aproximadamente (negativo). Assim temos ``negativo dividido por negativo pequeno’’ = positivo muito grande. Logo
- Limite pela direita (
): então e muito pequeno (positivo). O numerador continua próximo de (negativo). Assim ``negativo dividido por positivo pequeno’’ = negativo muito grande em módulo. Logo
Passo 7
Conclusão sobre o limite bilateral:
- Como os limites laterais não coincidem (
à esquerda e à direita), o limite bilateral quando não existe (nem como número finito, nem como infinito único).
Resposta
Não existe.