Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A expressão a ser analisada é
. - O ponto de aproximação é
.
Passo 2
Testando substituição direta: substituindo
no numerador e no denominador obtemos
ou seja a forma é
, uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas por substituição: é preciso simplificar a expressão antes.
Passo 3
Vou usar a identidade do quadrado da soma:
Aplicando com
e
temos
Passo 4
Substituindo essa expansão no numerador:
Agora fatoramos a expressão
:
Passo 5
Reescrevendo a fração original com essa fatoração:
Para
é possível cancelar o fator
, obtendo
Essa simplificação é válida para os valores de
arbitrariamente próximos de
(exceto exatamente
), e o limite depende exatamente desses valores próximos.
Passo 6
Usando as propriedades de limite (limite da soma é soma dos limites, limite de constante é a própria constante, etc.), temos
Portanto o limite da expressão original é
.
Passo 7
Para fixar a ideia, veja a versão genérica: para qualquer constante
,
A demonstração é idêntica: expandir, fatorar
, cancelar e avaliar o limite. No nosso caso
, logo
, consistente com o resultado acima.