Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{(2+t)^{2}-4}{t}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{(2+t)^{2}-4}{t}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser analisada é \dfrac{(2+t)^{2}-4}{t}.
  • O ponto de aproximação é t\to 0.

Passo 2

Testando substituição direta: substituindo t=0 no numerador e no denominador obtemos
\text{numerador}=(2+0)^{2}-4=4-4=0, \qquad \text{denominador}=0,
ou seja a forma é \dfrac{0}{0}, uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas por substituição: é preciso simplificar a expressão antes.

Passo 3

Vou usar a identidade do quadrado da soma:
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Aplicando com a=2 e b=t temos
(2+t)^{2}=4+4t+t^{2}.

Passo 4

Substituindo essa expansão no numerador:
(2+t)^{2}-4 = \bigl(4+4t+t^{2}\bigr)-4 = 4t+t^{2}.
Agora fatoramos a expressão 4t+t^{2}:
4t+t^{2}=t(4+t).

Passo 5

Reescrevendo a fração original com essa fatoração:
\frac{(2+t)^{2}-4}{t}=\frac{t(4+t)}{t}.
Para t\neq 0 é possível cancelar o fator t, obtendo
\frac{t(4+t)}{t}=4+t\quad\text{(para }t\neq 0\text{)}.
Essa simplificação é válida para os valores de t arbitrariamente próximos de 0 (exceto exatamente 0), e o limite depende exatamente desses valores próximos.

Passo 6

Usando as propriedades de limite (limite da soma é soma dos limites, limite de constante é a própria constante, etc.), temos
\lim_{t\to 0}(4+t)=\lim_{t\to 0}4+\lim_{t\to 0}t=4+0=4.
Portanto o limite da expressão original é 4.

Passo 7

Para fixar a ideia, veja a versão genérica: para qualquer constante a,
\lim_{h\to 0}\frac{(a+h)^{2}-a^{2}}{h}=2a.
A demonstração é idêntica: expandir, fatorar h, cancelar e avaliar o limite. No nosso caso a=2, logo 2a=4, consistente com o resultado acima.

Resposta

4

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