Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow \sqrt{2}}\left(x^{2}+3\right)(x-4)

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a \sqrt{2}:
\lim_{x \rightarrow \sqrt{2}}\bigl(x^{2}+3\bigr)(x-4).
Informações dadas e observações imediatas:
  • O ponto de aproximação é x=\sqrt{2}.
  • A expressão é um produto de duas funções: f(x)=x^{2}+3 e g(x)=x-4.
  • O que se pede é o valor numérico do limite quando x se aproxima de \sqrt{2}.

Passo 2

Propriedade de limites que vamos usar: se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem e são finitos, então
\lim_{x\to a} \bigl(f(x)\,g(x)\bigr)=\Bigl(\lim_{x\to a} f(x)\Bigr)\cdot\Bigl(\lim_{x\to a} g(x)\Bigr).
Explicando de forma simples: o limite do produto é o produto dos limites, desde que cada limite exista e não seja infinito. Além disso, funções polinomiais (como x^{2}+3 e x-4) são contínuas em todo ponto real, o que significa que o limite quando x\to a é igual ao valor da função no ponto a:
\lim_{x\to a} p(x)=p(a)
para qualquer polinômio p.

Passo 3

Aplicando isso ao primeiro fator f(x)=x^{2}+3, como é polinômio podemos substituir diretamente x=\sqrt{2}:
\lim_{x\to \sqrt{2}} \bigl(x^{2}+3\bigr) = \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2}+3.
Calculando \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2}=2, obtemos
\lim_{x\to \sqrt{2}} \bigl(x^{2}+3\bigr)=2+3=5.

Passo 4

Agora o segundo fator g(x)=x-4. Novamente é polinômio (linear), então:
\lim_{x\to \sqrt{2}} (x-4)=\sqrt{2}-4.
Caso queira uma ideia numérica, \sqrt{2}\approx1{,}414, então \sqrt{2}-4\approx-2{,}586, mas a forma exata \sqrt{2}-4 é preferível.

Passo 5

Como os dois limites separados existem e são finitos, podemos multiplicá-los:
\lim_{x \rightarrow \sqrt{2}}\bigl(x^{2}+3\bigr)(x-4) = \Bigl(\lim_{x\to \sqrt{2}} (x^{2}+3)\Bigr)\cdot\Bigl(\lim_{x\to \sqrt{2}} (x-4)\Bigr) = 5\cdot\bigl(\sqrt{2}-4\bigr).
Multiplicando:
5\bigl(\sqrt{2}-4\bigr)=5\sqrt{2}-20.

Resposta

5\sqrt{2}-20

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