Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x-1}{3 x+1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \to 1} \frac{2x-1}{3x+1}.
Informações fornecidas e observações úteis:
  • A função em questão é a razão de duas funções lineares: numerador 2x-1 e denominador 3x+1.
  • O ponto em que a variável se aproxima é x=1.
  • A expressão no denominador anula-se em x=-\dfrac{1}{3}, então a função não está definida em x=-\dfrac{1}{3}, mas isso não impede o cálculo do limite em x=1.

Passo 2

Conceitos e propriedades de limites que vamos usar (explicados de forma direta):
  • Regra da soma/produto/quotiente: se existem \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x), então
\lim_{x\to a} (f(x)+g(x))=\lim_{x\to a} f(x)+\lim_{x\to a} g(x),
\lim_{x\to a} (f(x)\cdot g(x))=\lim_{x\to a} f(x)\cdot\lim_{x\to a} g(x),
e, se \lim_{x\to a} g(x)\neq 0,
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a} f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}.
  • Funções polinomiais e, em particular, funções lineares ax+b são contínuas em todo ponto; isso significa que
\lim_{x\to a} (ax+b)=a\cdot a + b
(ou seja, basta substituir x=a).
  • Aplicação prática: quando temos uma razão de polinômios e o denominador não se anula em a, o limite quando x\to a é simplesmente o quociente dos valores na substituição direta.

Passo 3

Aplicando as regras ao nosso caso: o numerador 2x-1 e o denominador 3x+1 são funções lineares contínuas, logo seus limites em x\to 1 são os valores obtidos por substituição direta. Primeiro verificamos que o denominador no ponto não é zero.
Calcular o numerador em x=1:
2\cdot 1 - 1 = 2 - 1 = 1.
Calcular o denominador em x=1:
3\cdot 1 + 1 = 3 + 1 = 4.
Como \lim_{x\to 1} (3x+1)=4\neq 0, podemos usar a regra do quociente.

Passo 4

Usando a regra do quociente,
\lim_{x\to 1} \frac{2x-1}{3x+1} = \frac{\lim_{x\to 1} (2x-1)}{\lim_{x\to 1} (3x+1)} = \frac{1}{4}.
Portanto o limite existe e vale \dfrac{1}{4}.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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