Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow 3}(3 x-9)^{100}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 3}(3x-9)^{100}.
Informações dadas:
  • A expressão cujo limite se quer é (3x-9)^{100}.
  • O ponto de aproximação é x\to 3.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite?

Passo 2

Vamos lembrar propriedades de limites que precisaremos (vou explicar cada uma certinho).
  • Se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M, então \lim_{x\to a} (f(x)\cdot g(x)) = L\cdot M, \qquad \lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = L+M.Aqui f e g são funções quaisquer e L,M são os números que elas se aproximam quando x\to a.
  • Se c é constante, então \lim_{x\to a} c = c.
  • Regra do múltiplo constante: se \lim_{x\to a} f(x)=L e c é constante, então \lim_{x\to a} c\cdot f(x) = c\cdot L.
  • Regra de potência para inteiro positivo: se \lim_{x\to a} f(x)=L e n é um inteiro positivo, então \lim_{x\to a} (f(x))^{n} = L^{n}.Uma maneira de ver isso é escrever (f(x))^{n}=f(x)\cdot f(x)\cdots f(x) (produto de n fatores) e aplicar a propriedade do limite do produto repetidas vezes. Outra forma é lembrar que a função y\mapsto y^n é contínua para inteiro n, então pode-se trocar limite por aplicação da função.

Passo 3

Faço uma simplificação algébrica do termo dentro da potência:
3x-9 = 3(x-3).
Isso ajuda porque agora temos um produto de uma constante por uma expressão mais simples.

Passo 4

Calculo o limite da parte mais simples (x-3). Sabemos que \lim_{x\to 3} x = 3 (a função identidade é contínua), logo
\lim_{x\to 3} (x-3) = \lim_{x\to 3} x - 3 = 3 - 3 = 0.

Passo 5

Aplico a regra do múltiplo constante para \lim_{x\to 3} 3(x-3):
\lim_{x\to 3} 3(x-3) = 3\cdot \lim_{x\to 3} (x-3) = 3\cdot 0 = 0.

Passo 6

Agora uso a regra da potência (expoente inteiro positivo). Como \lim_{x\to 3} (3x-9) = 0 e o expoente é 100, temos
\lim_{x\to 3} (3x-9)^{100} = \bigl(\lim_{x\to 3} (3x-9)\bigr)^{100} = 0^{100}.

Passo 7

Comentário final de entendimento (útil para a prova): a função polinomial p(x)=(3x-9)^{100} é contínua em todo lugar, então simplesmente se pode substituir x=3 diretamente para obter o limite. Esse é outro jeito rápido de justificar o mesmo resultado.

Resposta

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