Calcule os limites abaixo usando as propriedades de Limites::
\lim _{x \rightarrow \pi} \sqrt[5]{\frac{x-\pi}{x+\pi}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\pi} \sqrt[5]{\frac{x-\pi}{x+\pi}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é a raiz quinta de uma fração cujo numerador é x-\pi e denominador é x+\pi.
  • O ponto de interesse é x=\pi.
  • Não há outras condições especiais (por exemplo, divisão por zero) explicitadas no enunciado.

Passo 2

Calcular o limite da parte interna (a fração) separando numerador e denominador. Primeiro, vendo limites básicos da função identidade:
\lim_{x\to\pi}(x-\pi)=\lim_{x\to\pi}x-\pi=\pi-\pi=0,
\lim_{x\to\pi}(x+\pi)=\lim_{x\to\pi}x+\pi=\pi+\pi=2\pi.
Aqui usei a propriedade de limites que permite somar/subtrair limites quando existem.

Passo 3

Aplicar a propriedade do limite do quociente: se \lim_{x\to a}u(x)=U e \lim_{x\to a}v(x)=V com V\neq0, então
\lim_{x\to a}\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{U}{V}.
No nosso caso U=0 e V=2\pi\neq0, logo
\lim_{x\to\pi}\frac{x-\pi}{x+\pi}=\frac{0}{2\pi}=0.

Passo 4

Usar continuidade da função raiz quinta. A função
h(t)=\sqrt[5]{t}=t^{1/5}
é contínua em todo \mathbb{R} (raízes ímpares são funções contínuas). Pelo teorema da composição de limites, se \lim_{x\to a}f(x)=L e h é contínua em L, então
\lim_{x\to a} h(f(x))=h\bigl(\lim_{x\to a}f(x)\bigr).
Aplicando com f(x)=\dfrac{x-\pi}{x+\pi} e L=0,
\lim_{x\to\pi}\sqrt[5]{\frac{x-\pi}{x+\pi}}=\sqrt[5]{\lim_{x\to\pi}\frac{x-\pi}{x+\pi}}=\sqrt[5]{0}=0.

Resposta

0

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