Calcule os seguintes limites:
n) \quad \lim _{\alpha \rightarrow 0} \alpha^{2} c o \operatorname{sec} ^{2} \alpha

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando \alpha\to 0 da expressão dada. Escrevendo matematicamente o que temos:
\lim_{\alpha\to 0}\alpha^{2}\csc^{2}\alpha.
Aqui a expressão a ser avaliada é \alpha^{2}\csc^{2}\alpha. A pergunta é: qual é o valor desse limite quando \alpha tende a 0?

Passo 2

Reescrevemos a função de forma mais conveniente usando \csc\alpha=\dfrac{1}{\sin\alpha}. Assim
\alpha^{2}\csc^{2}\alpha=\frac{\alpha^{2}}{\sin^{2}\alpha}.
Esta forma já sugere uma simplificação útil: podemos agrupar como um quadrado:
\frac{\alpha^{2}}{\sin^{2}\alpha}=\left(\frac{\alpha}{\sin\alpha}\right)^{2}.

Passo 3

Vamos usar propriedades de limite: se \lim_{\alpha\to0}\dfrac{\alpha}{\sin\alpha} existe e é finito, então
\lim_{\alpha\to0}\left(\frac{\alpha}{\sin\alpha}\right)^{2}=\left(\lim_{\alpha\to0}\frac{\alpha}{\sin\alpha}\right)^{2}.
Portanto basta avaliar \lim_{\alpha\to0}\dfrac{\alpha}{\sin\alpha}.

Passo 4

Conhecemos (e agora vou provar de modo elementar) que
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,
o que implica \lim_{x\to0}\dfrac{x}{\sin x}=1. Prova rápida (teorema do aperto / squeeze theorem), válida para x medido em radianos: para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica
\sin x < x < \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.
Dividindo tudo por x e por \sin x quando necessário obtemos
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
Como \lim_{x\to0}\cos x = 1, pelo teorema do aperto segue que \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1. Para limites bilateral ( x\to0 com sinais positivos e negativos) usa-se a paridade de \sin e o mesmo resultado vale. Portanto
\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}=1.
(Atenção: esse resultado exige que o ângulo esteja em radianos.)

Passo 5

Voltando ao nosso caso, temos
\lim_{\alpha\to0}\left(\frac{\alpha}{\sin\alpha}\right)^{2}=\left(\lim_{\alpha\to0}\frac{\alpha}{\sin\alpha}\right)^{2}=1^{2}=1.
Assim o limite pedido é 1.

Resposta

1

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