Calcule os seguintes limites:
n)
n)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
da expressão dada. Escrevendo matematicamente o que temos:
Aqui a expressão a ser avaliada é
. A pergunta é: qual é o valor desse limite quando
tende a
?
Passo 2
Reescrevemos a função de forma mais conveniente usando
. Assim
Esta forma já sugere uma simplificação útil: podemos agrupar como um quadrado:
Passo 3
Vamos usar propriedades de limite: se
existe e é finito, então
Portanto basta avaliar
.
Passo 4
Conhecemos (e agora vou provar de modo elementar) que
o que implica
. Prova rápida (teorema do aperto / squeeze theorem), válida para
medido em radianos: para
vale a desigualdade geométrica
Dividindo tudo por
e por
quando necessário obtemos
Como
, pelo teorema do aperto segue que
. Para limites bilateral (
com sinais positivos e negativos) usa-se a paridade de
e o mesmo resultado vale. Portanto
(Atenção: esse resultado exige que o ângulo esteja em radianos.)
Passo 5
Voltando ao nosso caso, temos
Assim o limite pedido é
.
Resposta
1