(35 pontos) em uma instalação de processamento de alimentos, um contêiner esférico de raio interno
, raio externo
, e condutividade térmica
será usado para armazenar óleo quente e mantê-lo a
. O óleo será usado em processos de pasteurização de alimentos nesta fábrica. Testes iniciais indicaram que a temperatura da parede externa do contêiner foi medida em
quando o óleo quente a
foi carregado. Porém, antes da instalação de um isolamento adequado é necessário saber quanto calor o contêiner perde em sua parede. Considerando que a temperatura da parede interna seja a mesma do óleo e que a perda de calor por radiação é desprezível, faça o que se pede:
(a) (10 pontos) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da parede do contêiner;
(b) (15 pontos) obtenha a relação para a variação da temperatura no contêiner resolvendo a equação diferencial;
(c) (10 pontos) determine a quantidade de calor perdido pelo contêiner nesta condição.
(a) (10 pontos) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da parede do contêiner;
(b) (15 pontos) obtenha a relação para a variação da temperatura no contêiner resolvendo a equação diferencial;
(c) (10 pontos) determine a quantidade de calor perdido pelo contêiner nesta condição.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) escrever a equação diferencial e as condições de contorno para a condução de calor unidimensional e permanente através da parede esférica do contêiner;
- (b) resolver a equação diferencial e obter a expressão da variação de temperatura
na espessura da parede; - (c) calcular a taxa de calor perdida (potência térmica) através da parede nessa condição.
Dados fornecidos (pegados do enunciado):
- raio interno:
. Converter para metros: . - raio externo:
. Converter para metros: . - condutividade térmica do material:
. - temperatura do óleo (parede interna):
(assume-se ). - temperatura da superfície externa medida:
(assume-se ). - perdas por radiação desprezíveis, regime permanente, condução unidimensional radial (simetria esférica), sem geração interna de calor.
As incógnitas que teremos que usar:
-
: temperatura no material em função do raio . -
: taxa de calor que atravessa a parede (W).
Passo 2
Formulemos a equação diferencial para condução radial estacionária em geometria esférica (sem geração interna).
Explicação física e origem da equação:
- Em regime permanente, a soma das divergências dos fluxos de calor é nula. Para simetria esférica e somente variação radial, a conservação de energia reduz-se a uma equação envolvendo o fluxo radial
. - O fluxo de calor radial por condução (lei de Fourier) é
por unidade de área radial; a área normal à direção radial é . - Aplicando conservação (fluxo constante em qualquer esfera concêntrica):
. Substituindo e obtemos a forma diferencial.
Equação diferencial (expressa matematicamente):
Aqui
é a condutividade (constante),
é a coordenada radial, e
é a temperatura.
Condições de contorno (retiradas do enunciado):
Passo 3
Simplificação da equação diferencial e solução geral.
Como
é constante, a equação fica:
Integração uma vez em relação a
:
onde
é uma constante de integração (tem dimensão de temperatura vezes comprimento).
Isolando a derivada:
Integração uma segunda vez:
onde
é outra constante de integração (tem dimensão de temperatura).
Observação didática: a solução tem a forma
. Isso é típico para condução estacionária sem geração em uma casca esférica: a variação é proporcional a
.
Passo 4
Determinação das constantes usando as condições de contorno.
Aplicando
:
Aplicando
:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Logo,
Podemos escrever
usando, por exemplo, a condição em
:
Substituindo
e
na expressão de
obtemos a distribuição de temperatura simplificada. Uma forma clara e direta é:
com
dado acima.
Outra forma, escrevendo explicitamente em função de
e
, é:
Comentário prático: essa expressão satisfaz
(numerador anula) e
(faz o quociente igual a 1).
Passo 5
Cálculo da taxa de calor perdida
.
A taxa de calor que atravessa uma superfície esférica de raio
é (lei de Fourier aplicada à área esférica):
Como
temos:
isto é,
é constante (independente de
), conforme esperado no regime permanente.
Usando a expressão de
e manipulando o sinal para obter um valor positivo quando
, uma forma padrão é:
Agora substituímos os valores numéricos (convertendo
para metros):
Calculemos o denominador:
Substituindo:
Avaliação numérica:
Interpretação: o contêiner está perdendo cerca de
nas condições dadas.
Passo 6
Resumo dos resultados e verificação rápida:
- A solução
encontrada garante e . - A expressão para
é a forma padrão para uma casca esférica sem geração: . - O valor numérico obtido foi
, o que parece fisicamente consistente dado o grande gradiente de temperatura e a condutividade elevada.
Resposta
(a)
(b) .
(c)
(b)
(c)