(35 pontos) em uma instalação de processamento de alimentos, um contêiner esférico de raio interno \mathrm{r}_{\mathrm{i}}=8,0 \mathrm{~cm}, raio externo \mathrm{r}_{\mathrm{e}}=10,0 \mathrm{~cm}, e condutividade térmica \mathrm{k}=45,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} será usado para armazenar óleo quente e mantê-lo a 200^{\circ} \mathrm{C}. O óleo será usado em processos de pasteurização de alimentos nesta fábrica. Testes iniciais indicaram que a temperatura da parede externa do contêiner foi medida em 80^{\circ} \mathrm{C} quando o óleo quente a 200^{\circ} \mathrm{C} foi carregado. Porém, antes da instalação de um isolamento adequado é necessário saber quanto calor o contêiner perde em sua parede. Considerando que a temperatura da parede interna seja a mesma do óleo e que a perda de calor por radiação é desprezível, faça o que se pede:
(a) (10 pontos) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da parede do contêiner;
(b) (15 pontos) obtenha a relação para a variação da temperatura no contêiner resolvendo a equação diferencial;
(c) (10 pontos) determine a quantidade de calor perdido pelo contêiner nesta condição.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) escrever a equação diferencial e as condições de contorno para a condução de calor unidimensional e permanente através da parede esférica do contêiner;
  • (b) resolver a equação diferencial e obter a expressão da variação de temperatura T(r) na espessura da parede;
  • (c) calcular a taxa de calor perdida (potência térmica) através da parede nessa condição.
Dados fornecidos (pegados do enunciado):
  • raio interno: r_{\mathrm{i}}=8{,}0\\ \mathrm{cm}. Converter para metros: r_{\mathrm{i}}=0{,}08\\ \mathrm{m}.
  • raio externo: r_{\mathrm{e}}=10{,}0\\ \mathrm{cm}. Converter para metros: r_{\mathrm{e}}=0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • condutividade térmica do material: k=45{,}0\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^{\circ}\mathrm{C}.
  • temperatura do óleo (parede interna): T_{\mathrm{i}}=200^{\circ}\mathrm{C} (assume-se T(r_{\mathrm{i}})=T_{\mathrm{i}}).
  • temperatura da superfície externa medida: T_{\mathrm{e}}=80^{\circ}\mathrm{C} (assume-se T(r_{\mathrm{e}})=T_{\mathrm{e}}).
  • perdas por radiação desprezíveis, regime permanente, condução unidimensional radial (simetria esférica), sem geração interna de calor.
As incógnitas que teremos que usar:
  • T(r): temperatura no material em função do raio r.
  • \dot{Q}: taxa de calor que atravessa a parede (W).

Passo 2

Formulemos a equação diferencial para condução radial estacionária em geometria esférica (sem geração interna).
Explicação física e origem da equação:
  • Em regime permanente, a soma das divergências dos fluxos de calor é nula. Para simetria esférica e somente variação radial, a conservação de energia reduz-se a uma equação envolvendo o fluxo radial q_r(r).
  • O fluxo de calor radial por condução (lei de Fourier) é q_r(r) = -k\,\frac{dT}{dr} por unidade de área radial; a área normal à direção radial é A(r)=4\pi r^{2}.
  • Aplicando conservação (fluxo constante em qualquer esfera concêntrica): \dfrac{d}{dr}\big( A(r) q_r(r)\big)=0. Substituindo A(r) e q_r obtemos a forma diferencial.
Equação diferencial (expressa matematicamente):
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left( r^{2} k \frac{dT}{dr} \right)=0.
Aqui k é a condutividade (constante), r é a coordenada radial, e T(r) é a temperatura.
Condições de contorno (retiradas do enunciado):
T(r_{\mathrm{i}})=T_{\mathrm{i}}=200^\circ\mathrm{C}, \qquad T(r_{\mathrm{e}})=T_{\mathrm{e}}=80^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Simplificação da equação diferencial e solução geral.
Como k é constante, a equação fica:
\frac{d}{dr}\!\left( r^{2} \frac{dT}{dr} \right)=0.
Integração uma vez em relação a r:
r^{2}\frac{dT}{dr}=C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração (tem dimensão de temperatura vezes comprimento).
Isolando a derivada:
\frac{dT}{dr}=\frac{C_{1}}{r^{2}}.
Integração uma segunda vez:
T(r) = -\frac{C_{1}}{r} + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração (tem dimensão de temperatura).
Observação didática: a solução tem a forma T(r)=A + B/r. Isso é típico para condução estacionária sem geração em uma casca esférica: a variação é proporcional a 1/r.

Passo 4

Determinação das constantes usando as condições de contorno.
Aplicando r=r_{\mathrm{i}}:
T_{\mathrm{i}} = -\frac{C_{1}}{r_{\mathrm{i}}} + C_{2}.
Aplicando r=r_{\mathrm{e}}:
T_{\mathrm{e}} = -\frac{C_{1}}{r_{\mathrm{e}}} + C_{2}.
Subtraindo a segunda equação da primeira:
T_{\mathrm{i}} - T_{\mathrm{e}} = -\frac{C_{1}}{r_{\mathrm{i}}} + \frac{C_{1}}{r_{\mathrm{e}}} = C_{1}\!\left(\frac{1}{r_{\mathrm{e}}}-\frac{1}{r_{\mathrm{i}}}\right).
Logo,
C_{1} = \frac{T_{\mathrm{i}}-T_{\mathrm{e}}}{\dfrac{1}{r_{\mathrm{e}}}-\dfrac{1}{r_{\mathrm{i}}}}.
Podemos escrever C_{2} usando, por exemplo, a condição em r_{\mathrm{e}}:
C_{2} = T_{\mathrm{e}} + \frac{C_{1}}{r_{\mathrm{e}}}.
Substituindo C_{1} e C_{2} na expressão de T(r) obtemos a distribuição de temperatura simplificada. Uma forma clara e direta é:
T(r)=T_{\mathrm{e}} + C_{1}\!\left(\frac{1}{r_{\mathrm{e}}}-\frac{1}{r}\right),
com C_{1} dado acima.
Outra forma, escrevendo explicitamente em função de T_{\mathrm{i}} e T_{\mathrm{e}}, é:
T(r)=T_{\mathrm{e}} + (T_{\mathrm{i}}-T_{\mathrm{e}})\,\frac{\dfrac{1}{r_{\mathrm{e}}}-\dfrac{1}{r}}{\dfrac{1}{r_{\mathrm{e}}}-\dfrac{1}{r_{\mathrm{i}}}}.
Comentário prático: essa expressão satisfaz T(r_{\mathrm{e}})=T_{\mathrm{e}} (numerador anula) e T(r_{\mathrm{i}})=T_{\mathrm{i}} (faz o quociente igual a 1).

Passo 5

Cálculo da taxa de calor perdida \dot{Q}.
A taxa de calor que atravessa uma superfície esférica de raio r é (lei de Fourier aplicada à área esférica):
\dot{Q} = -k\,A(r)\,\frac{dT}{dr} = -k\,(4\pi r^{2})\,\frac{dT}{dr}.
Como \dfrac{dT}{dr}=\dfrac{C_{1}}{r^{2}} temos:
\dot{Q} = -k(4\pi r^{2})\frac{C_{1}}{r^{2}} = -4\pi k C_{1},
isto é, \dot{Q} é constante (independente de r), conforme esperado no regime permanente.
Usando a expressão de C_{1} e manipulando o sinal para obter um valor positivo quando T_{\mathrm{i}}>T_{\mathrm{e}}, uma forma padrão é:
\dot{Q} = \frac{4\pi k\,(T_{\mathrm{i}}-T_{\mathrm{e}})}{\dfrac{1}{r_{\mathrm{i}}}-\dfrac{1}{r_{\mathrm{e}}}}.
Agora substituímos os valores numéricos (convertendo r para metros):
r_{\mathrm{i}}=0{,}08\\ \mathrm{m},\qquad r_{\mathrm{e}}=0{,}10\\ \mathrm{m}, \qquad T_{\mathrm{i}}-T_{\mathrm{e}}=200-80=120\\ ^\circ\mathrm{C}, \qquad k=45\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,^{\circ}\mathrm{C}.
Calculemos o denominador:
\frac{1}{r_{\mathrm{i}}}-\frac{1}{r_{\mathrm{e}}}=\frac{1}{0{,}08}-\frac{1}{0{,}10}=12{,}5-10=2{,}5\\ \mathrm{m}^{-1}.
Substituindo:
\dot{Q} = \frac{4\pi \cdot 45 \cdot 120}{2{,}5} = \frac{21600\pi}{2{,}5} =8640\pi\\ \mathrm{W}.
Avaliação numérica:
\dot{Q}\approx 8640\times 3{,}1416 \approx 27143{,}4\\ \mathrm{W}\approx 2{,}71\times 10^{4}\\ \mathrm{W}.
Interpretação: o contêiner está perdendo cerca de 27{,}1\\ \mathrm{kW} nas condições dadas.

Passo 6

Resumo dos resultados e verificação rápida:
  • A solução T(r) encontrada garante T(r_{\mathrm{i}})=200^\circ\mathrm{C} e T(r_{\mathrm{e}})=80^\circ\mathrm{C}.
  • A expressão para \dot{Q} é a forma padrão para uma casca esférica sem geração: \dot{Q} = 4\pi k (T_{\mathrm{i}}-T_{\mathrm{e}}) / (1/r_{\mathrm{i}} - 1/r_{\mathrm{e}}).
  • O valor numérico obtido foi \dot{Q}\approx 2{,}71\times 10^{4}\\ \mathrm{W}, o que parece fisicamente consistente dado o grande gradiente de temperatura e a condutividade elevada.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}k\frac{dT}{dr}\right)=0,\qquad T(r_{\mathrm{i}})=200^\circ\mathrm{C},\;T(r_{\mathrm{e}})=80^\circ\mathrm{C}.
(b) \displaystyle T(r)=T_{\mathrm{e}}+(T_{\mathrm{i}}-T_{\mathrm{e}})\,\frac{\dfrac{1}{r_{\mathrm{e}}}-\dfrac{1}{r}}{\dfrac{1}{r_{\mathrm{e}}}-\dfrac{1}{r_{\mathrm{i}}}}.
(c) \displaystyle \dot{Q}=\frac{4\pi k\,(T_{\mathrm{i}}-T_{\mathrm{e}})}{\dfrac{1}{r_{\mathrm{i}}}-\dfrac{1}{r_{\mathrm{e}}}}\approx 2{,}71\times10^{4}\\ \mathrm{W}.

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