Calcule os limites abaixo usando a Regra de L’Hôpital:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão a analisar é
. - O ponto de interesse é
. - Devemos usar a Regra de L’Hôpital (ou seja, podemos aplicar essa ideia se a forma for indeterminada).
Passo 2
Verificamos o comportamento do numerador e do denominador quando
:
- Numerador:
tende a . - Denominador:
tende a .
Portanto a expressão tem a forma indeterminada. Isso justifica a tentativa de aplicar a Regra de L’Hôpital, desde que as derivadas existam numa vizinhança de e a derivada do denominador não seja zero nessa vizinhança.
Passo 3
Lembrando (de forma simples) a Regra de L’Hôpital: se
e
(ou ambos
), e se
e
são diferenciáveis num intervalo com exceção possivelmente de
, e
perto de
, então
quando o limite do lado direito existir (ou for
). Um exemplo rápido:
; aplicando L’Hôpital dá
.
Passo 4
Aplicamos L’Hôpital ao nosso caso. Primeiro simplifico o numerador para facilitar derivar:
Derivando numerador e denominador:
- Derivada do numerador
é . - Derivada do denominador
é (porque a derivada de é para ).
Observação de validade: perto de
temos
, então a hipótese da regra está satisfeita.
Passo 5
Pelo passo anterior, o limite original é igual ao limite das derivadas:
Passo 6
Simplifico a fração:
Logo o limite fica
Passo 7
Avalio o polinômio no ponto
:
Portanto o limite existe e vale
.
Passo 8
Comentário extra (para fixar): alternativamente poderíamos ter usado a aproximação
quando
. Substituindo na expressão teríamos
, que tende a
. Essa é uma verificação rápida que dá o mesmo resultado que L’Hôpital.