Calcule os limites abaixo usando a Regra de L’Hôpital:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+1)}{\ln x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x+1)}{\ln x}.
Informações dadas:
  • A expressão a analisar é \dfrac{(x-1)(x+1)}{\ln x}.
  • O ponto de interesse é x\to 1.
  • Devemos usar a Regra de L’Hôpital (ou seja, podemos aplicar essa ideia se a forma for indeterminada).

Passo 2

Verificamos o comportamento do numerador e do denominador quando x\to 1:
  • Numerador: (x-1)(x+1) tende a (1-1)(1+1)=0.
  • Denominador: \ln x tende a \ln 1=0.
    Portanto a expressão tem a forma indeterminada 0/0. Isso justifica a tentativa de aplicar a Regra de L’Hôpital, desde que as derivadas existam numa vizinhança de x=1 e a derivada do denominador não seja zero nessa vizinhança.

Passo 3

Lembrando (de forma simples) a Regra de L’Hôpital: se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty), e se f e g são diferenciáveis num intervalo com exceção possivelmente de a, e g'(x)\neq 0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
quando o limite do lado direito existir (ou for \pm\infty). Um exemplo rápido: \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1; aplicando L’Hôpital dá \lim_{x\to0}\dfrac{\cos x}{1}=\cos 0=1.

Passo 4

Aplicamos L’Hôpital ao nosso caso. Primeiro simplifico o numerador para facilitar derivar:
(x-1)(x+1)=x^2-1.
Derivando numerador e denominador:
  • Derivada do numerador f(x)=x^2-1 é f'(x)=2x.
  • Derivada do denominador g(x)=\ln x é g'(x)=\dfrac{1}{x} (porque a derivada de \ln x é \dfrac{1}{x} para x>0).
Observação de validade: perto de x=1 temos g'(x)=1/x\neq 0, então a hipótese da regra está satisfeita.

Passo 5

Pelo passo anterior, o limite original é igual ao limite das derivadas:
\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{\ln x} =\lim_{x\to 1}\frac{2x}{1/x}.

Passo 6

Simplifico a fração:
\frac{2x}{1/x}=2x\cdot x=2x^2.
Logo o limite fica
\lim_{x\to 1}2x^2.

Passo 7

Avalio o polinômio no ponto x=1:
2\cdot 1^2=2.
Portanto o limite existe e vale 2.

Passo 8

Comentário extra (para fixar): alternativamente poderíamos ter usado a aproximação \ln x\sim x-1 quando x\to 1. Substituindo na expressão teríamos \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}\approx x+1, que tende a 2. Essa é uma verificação rápida que dá o mesmo resultado que L’Hôpital.

Resposta

2

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