(2,0 pontos ) Considere a função f(x)=x^{3}-3 x+9.
(a) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
(b) Classifique os pontos críticos de f.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-3x+9 e faz duas perguntas:
  1. (a) Determine os intervalos de crescimento (onde f aumenta) e de decrescimento (onde f diminui).
  2. (b) Classifique os pontos críticos de f (diga se são máximos locais, mínimos locais ou outro).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\;f(x)=x^{3}-3x+9. Não há restrição explícita de domínio, então consideramos o domínio natural dos polinômios, que é todo \mathbb{R}.
Nada mais é fornecido — a resolução seguirá usando apenas f.

Passo 2

Entender o que precisamos calcular antes de começar a mexer nos números:
Para saber onde uma função cresce ou decresce, usamos a derivada f'(x). A ideia (explicação didática): a derivada em um ponto mede a inclinação da reta tangente ali; se f'(x)>0 então a função sobe (aumenta) naquele ponto, se f'(x)<0 então a função desce (diminui) naquele ponto. Pontos onde f'(x)=0 ou f' é indefinida são os pontos críticos, candidatos a máximos/minímos.
Agora vamos calcular a derivada passo a passo. Usamos a regra de potência: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando termo a termo:
f(x)=x^{3}-3x+9
\text{derivando:}\quad f'(x)=3x^{2}-3
Expliquei: derivada de x^{3} é 3x^{2}; derivada de -3x é -3; derivada de 9 (constante) é 0.

Passo 3

Encontrar os pontos críticos: resolvemos f'(x)=0 e também verificamos pontos onde f' é indefinida (aqui f' é polinomial, logo definida em todo \mathbb{R}).
Colocando em igualdade:
3x^{2}-3=0
Dividindo por 3 (válido porque é diferente de zero):
x^{2}-1=0
x^{2}=1
x=\pm 1
Portanto os pontos críticos em abscissa são x=-1 e x=1. Agora calculemos as ordenadas (valores da função nesses pontos) para que possamos indicar as coordenadas dos pontos críticos:
f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)+9=-1+3+9=11
f(1)=1^{3}-3\cdot1+9=1-3+9=7
Logo os pontos críticos são (-1,11) e (1,7).

Passo 4

Estudar o sinal de f'(x) para deduzir os intervalos de crescimento/decrescimento. Primeiro fatoramos f'(x):
f'(x)=3x^{2}-3=3(x^{2}-1)=3(x-1)(x+1)
Agora fazemos uma análise de sinais nos intervalos determinados pelas raízes x=-1 e x=1. Lembrete prático (didático): o fator 3 é positivo, então o sinal de f'(x) é o mesmo do produto (x-1)(x+1).
Escolhemos um ponto teste em cada intervalo:
  • Para x<-1, por exemplo x=-2: (x+1)= -1 (negativo), (x-1)=-3 (negativo). Produto de dois negativos é positivo. Então f'(x)>0 em (-\infty,-1).
  • Para -1<x<1, por exemplo x=0: (x+1)=1 (positivo), (x-1)=-1 (negativo). Produto positivo × negativo = negativo. Então f'(x)<0 em (-1,1).
  • Para x>1, por exemplo x=2: (x+1)=3 (positivo), (x-1)=1 (positivo). Produto positivo. Então f'(x)>0 em (1,\infty).
Concluindo sobre crescimento/decrescimento:
  • f é crescente em (-\infty,-1) e em (1,\infty).
  • f é decrescente em (-1,1).

Passo 5

Classificar os pontos críticos. Vou usar duas maneiras didáticas (primeira e segunda derivada) para reforçar e você poder usar a que preferir na prova.
Primeira derivada (teste dos sinais):
  • Em x=-1 a derivada muda de positiva (à esquerda) para negativa (à direita). Isso significa que f sobe antes de -1 e desce depois de -1; então x=-1 é um ponto de máximo local. Coordenada: (-1,11).
  • Em x=1 a derivada muda de negativa (à esquerda) para positiva (à direita). Isso significa que f desce antes de 1 e sobe depois de 1; então x=1 é um ponto de mínimo local. Coordenada: (1,7).
Segunda derivada (teste da concavidade) — alternativa que costuma ser rápida:
Calcule f''(x):
f''(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2}-3)=6x
Avalie nos pontos críticos:
f''(-1)=6(-1)=-6<0 \quad\Rightarrow\quad \text{concavidade para baixo em }x=-1\Rightarrow\text{máximo local.}á
f''(1)=6(1)=6>0 \quad\Rightarrow\quad \text{concavidade para cima em }x=1\Rightarrow\text{mínimo local.}í
As duas análises concordam: (-1,11) é máximo local e (1,7) é mínimo local.

Passo 6

Recapitulando de forma direta e pronta para decorar/usar na prova:
  • Derivada: f'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1).
  • Pontos críticos: x=-1 e x=1, com f(-1)=11 e f(1)=7.
  • Sinal de f': positivo em (-\infty,-1) e em (1,\infty); negativo em (-1,1).
  • Classificação: (-1,11) é máximo local; (1,7) é mínimo local.

Resposta

f é crescente em (-\infty,-1)\cup(1,\infty) e decrescente em (-1,1).\n (-1,11) é máximo local; (1,7) é mínimo local.

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