pontos
Considere a função
.
(a) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de
.
(b) Classifique os pontos críticos de
.
(a) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de
(b) Classifique os pontos críticos de
Passo 1
O enunciado dá a função
e faz duas perguntas:
- (a) Determine os intervalos de crescimento (onde
aumenta) e de decrescimento (onde diminui). - (b) Classifique os pontos críticos de
(diga se são máximos locais, mínimos locais ou outro).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
. Não há restrição explícita de domínio, então consideramos o domínio natural dos polinômios, que é todo
.
Nada mais é fornecido — a resolução seguirá usando apenas .
Nada mais é fornecido — a resolução seguirá usando apenas
Passo 2
Entender o que precisamos calcular antes de começar a mexer nos números:
Para saber onde uma função cresce ou decresce, usamos a derivada . A ideia (explicação didática): a derivada em um ponto mede a inclinação da reta tangente ali; se
então a função sobe (aumenta) naquele ponto, se
então a função desce (diminui) naquele ponto. Pontos onde
ou
é indefinida são os pontos críticos, candidatos a máximos/minímos.
Para saber onde uma função cresce ou decresce, usamos a derivada
Agora vamos calcular a derivada passo a passo. Usamos a regra de potência: a derivada de
é
. Aplicando termo a termo:
Expliquei: derivada de
é
; derivada de
é
; derivada de
(constante) é
.
Passo 3
Encontrar os pontos críticos: resolvemos
e também verificamos pontos onde
é indefinida (aqui
é polinomial, logo definida em todo
).
Colocando em igualdade:
Colocando em igualdade:
Dividindo por
(válido porque é diferente de zero):
Portanto os pontos críticos em abscissa são
e
. Agora calculemos as ordenadas (valores da função nesses pontos) para que possamos indicar as coordenadas dos pontos críticos:
Logo os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Estudar o sinal de
para deduzir os intervalos de crescimento/decrescimento. Primeiro fatoramos
:
Agora fazemos uma análise de sinais nos intervalos determinados pelas raízes
e
. Lembrete prático (didático): o fator
é positivo, então o sinal de
é o mesmo do produto
.
Escolhemos um ponto teste em cada intervalo:
- Para
, por exemplo : (negativo), (negativo). Produto de dois negativos é positivo. Então em . - Para
, por exemplo : (positivo), (negativo). Produto positivo × negativo = negativo. Então em . - Para
, por exemplo : (positivo), (positivo). Produto positivo. Então em .
Concluindo sobre crescimento/decrescimento:
-
é crescente em e em . -
é decrescente em .
Passo 5
Classificar os pontos críticos. Vou usar duas maneiras didáticas (primeira e segunda derivada) para reforçar e você poder usar a que preferir na prova.
Primeira derivada (teste dos sinais):
- Em
a derivada muda de positiva (à esquerda) para negativa (à direita). Isso significa que sobe antes de e desce depois de ; então é um ponto de máximo local. Coordenada: . - Em
a derivada muda de negativa (à esquerda) para positiva (à direita). Isso significa que desce antes de e sobe depois de ; então é um ponto de mínimo local. Coordenada: .
Segunda derivada (teste da concavidade) — alternativa que costuma ser rápida:
Calcule :
Calcule
Avalie nos pontos críticos:
As duas análises concordam:
é máximo local e
é mínimo local.
Passo 6
Recapitulando de forma direta e pronta para decorar/usar na prova:
- Derivada:
. - Pontos críticos:
e , com e . - Sinal de
: positivo em e em ; negativo em . - Classificação:
é máximo local; é mínimo local.