(2,0 pontos) Considere a função
. Calcule
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
Pede para calcular
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é composta por quatro termos:
, , e a constante . - O ponto onde queremos as derivadas é
(note que está no domínio da função, pois não é zero). - A constante
não depende de e, portanto, terá derivada zero.
Passo 2
Relembrando as regras básicas de diferenciação que vamos usar (passo-a-passo, sem pressa):
- Regra do poder (power rule): para qualquer expoente inteiro
, a derivada de é
Aqui
é a variável e
é o expoente. Exemplo:
.
- Essa regra vale também para expoentes negativos. Por exemplo,
. - Derivada de constante: se
é constante, então . Exemplo: . - A derivada de uma soma é a soma das derivadas:
.
Usaremos essas regras aplicadas termo a termo na função.
Passo 3
Vamos reescrever os termos com expoentes para aplicar a regra do poder de forma direta:
Agora derivamos termo a termo usando a regra do poder e a regra da soma:
-
. -
. -
. -
.
Portanto,
Se preferir em forma de frações:
Passo 4
Agora avaliamos
em
. Substituímos
na expressão que encontramos:
Calculando passo a passo:
Então
Passo 5
Agora precisamos de
. Primeiro obtemos
derivando
:
Derivando termo a termo:
-
. -
. (Explicando: apliquei a regra do poder com .) -
.
Portanto
Em forma de frações:
Passo 6
Avaliamo-nos
em
:
Calculando:
logo