(2,0 pontos) Considere a função f(x)=x^{2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{2^{2025}}. Calcule f^{\prime}(1) e f^{\prime \prime}(1).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{2^{2025}}.
Pede para calcular f^{\prime}(1) e f^{\prime\prime}(1).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é composta por quatro termos: x^{2}, \dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{x^{3}} e a constante \dfrac{1}{2^{2025}}.
  • O ponto onde queremos as derivadas é x=1 (note que x=1 está no domínio da função, pois não é zero).
  • A constante \dfrac{1}{2^{2025}} não depende de x e, portanto, terá derivada zero.

Passo 2

Relembrando as regras básicas de diferenciação que vamos usar (passo-a-passo, sem pressa):
  • Regra do poder (power rule): para qualquer expoente inteiro n, a derivada de x^{n} é
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é o expoente. Exemplo: \frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
  • Essa regra vale também para expoentes negativos. Por exemplo, \frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
  • Derivada de constante: se C é constante, então \dfrac{d}{dx}C=0. Exemplo: \dfrac{d}{dx}\big(\tfrac{1}{2^{2025}}\big)=0.
  • A derivada de uma soma é a soma das derivadas: \dfrac{d}{dx}(g(x)+h(x))=g'(x)+h'(x).
Usaremos essas regras aplicadas termo a termo na função.

Passo 3

Vamos reescrever os termos com expoentes para aplicar a regra do poder de forma direta:
f(x)=x^{2}+x^{-1}+x^{-3}+\frac{1}{2^{2025}}.
Agora derivamos termo a termo usando a regra do poder e a regra da soma:
  • \dfrac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x^{1}=2x.
  • \dfrac{d}{dx}\big(x^{-1}\big)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
  • \dfrac{d}{dx}\big(x^{-3}\big)=-3\cdot x^{-4}=-3x^{-4}.
  • \dfrac{d}{dx}\big(\tfrac{1}{2^{2025}}\big)=0.
Portanto,
f'(x)=2x - x^{-2} - 3x^{-4}.
Se preferir em forma de frações:
f'(x)=2x - \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}.

Passo 4

Agora avaliamos f'(x) em x=1. Substituímos x=1 na expressão que encontramos:
f'(1)=2\cdot 1 - \frac{1}{1^{2}} - \frac{3}{1^{4}}.
Calculando passo a passo:
2\cdot 1=2,\qquad \frac{1}{1^{2}}=1,\qquad \frac{3}{1^{4}}=3.
Então
f'(1)=2-1-3= -2.

Passo 5

Agora precisamos de f''(1). Primeiro obtemos f''(x) derivando f'(x):
f'(x)=2x - x^{-2} - 3x^{-4}.
Derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}(2x)=2.
  • \dfrac{d}{dx}(-x^{-2})=-(-2)x^{-3}=2x^{-3}. (Explicando: apliquei a regra do poder com n=-2.)
  • \dfrac{d}{dx}(-3x^{-4})=-3\cdot(-4)x^{-5}=12x^{-5}.
Portanto
f''(x)=2 + 2x^{-3} + 12x^{-5}.
Em forma de frações:
f''(x)=2 + \frac{2}{x^{3}} + \frac{12}{x^{5}}.

Passo 6

Avaliamo-nos f''(x) em x=1:
f''(1)=2 + \frac{2}{1^{3}} + \frac{12}{1^{5}}.
Calculando:
\frac{2}{1^{3}}=2,\qquad \frac{12}{1^{5}}=12,
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f''(1)=2+2+12=16.

Resposta

f'(1)=-2
f''(1)=16

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