Calcule os limites abaixo usando a regra de L’Hospital. Antes, verifique que as condições do teorema são satisfeitas.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\operatorname{sen} x)-x}{e^{x}+e^{-x}-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{e^{x}+e^{-x}-2}
usando a regra de L’Hospital. O conteúdo é limites de funções que geram indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}, e vamos verificar as condições de aplicabilidade do teorema (funções diferenciáveis e forma indeterminada) antes de derivar.

Passo 2

Verificamos diretamente o comportamento em x\to0:
\sin x - x \to 0 - 0 = 0 e
e^{x}+e^{-x}-2 \to 1 + 1 - 2 = 0.
Como ambas vão a zero e são diferenciáveis num entorno de 0, a forma é \tfrac{0}{0} e podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Definindo
f(x)=\sin x - x, \quad g(x)=e^{x}+e^{-x}-2,
a primeira aplicação de L’Hospital dá
\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to0}\frac{\cos x - 1}{e^{x}-e^{-x}}.
Ainda temos \cos x -1\to0 e e^{x}-e^{-x}\to0, ou seja, de novo indeterminação \tfrac{0}{0}.

Passo 4

Reaplicando L’Hospital, derivamos de novo numerador e denominador:
\frac{d}{dx}(\cos x -1) = -\sin x, \qquad \frac{d}{dx}(e^{x}-e^{-x}) = e^{x} + e^{-x}.
Logo o limite torna-se
\lim_{x\to0}\frac{-\sin x}{e^{x}+e^{-x}}.

Passo 5

Basta avaliar em x=0:
-\sin 0 = 0 e e^{0}+e^{-0}=1+1=2.
Portanto
\lim_{x\to0}\frac{-\sin x}{e^{x}+e^{-x}} = \frac{0}{2} = 0.

Resposta

0

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