Calcule os limites abaixo usando a regra de L’Hospital. Antes, verifique que as condições do teorema são satisfeitas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a regra de L’Hospital. O conteúdo é limites de funções que geram indeterminação do tipo
, e vamos verificar as condições de aplicabilidade do teorema (funções diferenciáveis e forma indeterminada) antes de derivar.
Passo 2
Verificamos diretamente o comportamento em
:
e
.
Como ambas vão a zero e são diferenciáveis num entorno de , a forma é
e podemos aplicar L’Hospital.
Como ambas vão a zero e são diferenciáveis num entorno de
Passo 3
Definindo
a primeira aplicação de L’Hospital dá
Ainda temos
e
, ou seja, de novo indeterminação
.
Passo 4
Reaplicando L’Hospital, derivamos de novo numerador e denominador:
Logo o limite torna-se
Passo 5
Basta avaliar em
:
e
.
Portanto
Portanto