Calcule os limites abaixo usando a regra de L’Hospital. Antes, verifique que as condições do teorema são satisfeitas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
usando a regra de L’Hospital. Vamos verificar que temos uma indeterminação do tipo
e depois aplicar sucessivas derivações.
Passo 2
Verificamos o comportamento de numerador e denominador quando
:
o numerador e o denominador
.
Portanto estamos diante de uma forma indeterminada , podendo usar L’Hospital.
o numerador
Portanto estamos diante de uma forma indeterminada
Passo 3
Aplicamos L’Hospital derivando numerador e denominador:
numerador , denominador
.
O limite passa a ser
numerador
O limite passa a ser
Ainda temos
, então podemos usar L’Hospital de novo.
Passo 4
Segunda aplicação de L’Hospital:
derivada do numerador é , do denominador é
.
O limite torna-se
derivada do numerador é
O limite torna-se
que continua sendo
.
Passo 5
Terceira aplicação de L’Hospital:
derivada do numerador é , do denominador é
.
Ficamos com
derivada do numerador é
Ficamos com
Como
e
é constante, o quociente tende a
.