Calcule os limites abaixo usando a regra de L’Hospital. Antes, verifique que as condições do teorema são satisfeitas.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}-1}{x^{3}+4 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}-1}{x^{3}+4x}
usando a regra de L’Hospital. Vamos verificar que temos uma indeterminação do tipo \infty/\infty e depois aplicar sucessivas derivações.

Passo 2

Verificamos o comportamento de numerador e denominador quando x \to \infty:
o numerador \,e^{x}-1\to\infty e o denominador \,x^{3}+4x\to\infty.
Portanto estamos diante de uma forma indeterminada \infty/\infty, podendo usar L’Hospital.

Passo 3

Aplicamos L’Hospital derivando numerador e denominador:
numerador \,(e^{x}-1)'\!=e^{x}, denominador \,(x^{3}+4x)'=3x^{2}+4.
O limite passa a ser
\lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3x^{2}+4}.
Ainda temos \infty/\infty, então podemos usar L’Hospital de novo.

Passo 4

Segunda aplicação de L’Hospital:
derivada do numerador é \,e^{x}, do denominador é \,(3x^{2}+4)'=6x.
O limite torna-se
\lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{6x},
que continua sendo \infty/\infty.

Passo 5

Terceira aplicação de L’Hospital:
derivada do numerador é \,e^{x}, do denominador é \,(6x)'=6.
Ficamos com
\lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{6}.
Como e^{x}\to\infty e 6 é constante, o quociente tende a \infty.

Resposta

\displaystyle \infty

Exercícios relacionados