Calcule os limites abaixo usando a regra de L’Hospital. Antes, verifique que as condições do teorema são satisfeitas.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2} \cdot \ln x}{x^{2}+\ln x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}\,\ln x}{x^{2}+\ln x}
usando a regra de L’Hospital. O conteúdo é limites envolvendo forma indeterminada \tfrac{\infty}{\infty}, e vamos precisar verificar as hipóteses do teorema de L’Hospital (funções diferenciáveis e indeterminação) antes de aplicá-lo.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação:
\lim_{x\to+\infty}x^{2}\,\ln x = +\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to+\infty}\bigl(x^{2}+\ln x\bigr)=+\infty,
logo temos a forma \tfrac{\infty}{\infty}. As funções f(x)=x^{2}\ln x e g(x)=x^{2}+\ln x são diferenciáveis para x>0, então podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Calculamos as derivadas de numerador e denominador:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\ln x\bigr) =2x\ln x + x^{2}\cdot\frac{1}{x} =2x\ln x + x,
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+\ln x\bigr) =2x + \frac{1}{x}.

Passo 4

Aplicando L’Hospital, o limite original passa a ser
\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to+\infty}\frac{2x\ln x + x}{2x + \tfrac{1}{x}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{x\,(2\ln x + 1)}{x\,(2 + \tfrac{1}{x^{2}})} =\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x + 1}{2 + \tfrac{1}{x^{2}}}.
`A medida que x\to+\infty, \ln x\to+\infty e \tfrac{1}{x^{2}}\to0, ent~ao
\frac{2\ln x + 1}{2 + \tfrac{1}{x^{2}}}\;\longrightarrow\;\frac{+\infty}{2}=+\infty.

Resposta

\displaystyle +\infty

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