Calcule os limites abaixo. Use a regra L’Hôspital, quando necessário, indicando qual o tipo da ideterminação e :
iii)
(a) []

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0l1+sin[(10-S)x]r^1/x, onde na prática 10-S=6, ou seja estamos avaliando limxto0(1+sin(6x))^1/x. O conteúdo envolve uma forma indeterminada do tipo 1^infty e vamos precisar usar a transformação via logaritmo e a regra de L’Hôspital.

Passo 2

Identificamos que quando xto0 temos 1+sin(6x)to1 e 1/xtoinfty, caracterizando a indeterminação 1^infty.
Para tratar esse tipo de limite, definimos L=limxto0(1+sin(6x))^1/x e tomamos logaritmo:
ln L=limxto0lnl(1+sin(6x)r)x,

Passo 3

agora obtivemos uma forma 0/0, já que ln(1+sin(6x))to0 e xto0.
Aplicamos a regra de L’Hôspital diferenciando numerador e denominador:
ddxl[ln(1+sin(6x))r]=6cos(6x)1+sin(6x),ddx[x]=1

Passo 4

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ln L=limxto06cos(6x)1+sin(6x)=6cdot11+0=6

Passo 5

Por fim, voltamos da função logaritmo: L=e^ln L=e^6.

Resposta

e^6

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