Calcule os limites abaixo, utilizando o segundo limite fundamental
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e :
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow\infty}\biggl(1+\frac{2}{x}\biggr)^{x}
usando o “segundo limite fundamental”
\lim_{y\rightarrow\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{y}\bigr)^{y}=e.
O conteúdo aqui é reconhecimento de padrão exponencial e uso de substituição para encaixar o limite dado.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \frac{x}{2},
de modo que, quando x\to\infty, também t\to\infty. Note que
\frac{2}{x} = \frac{1}{t} \quad\text{e}\quad x = 2t.
Então podemos reescrever
\biggl(1+\frac{2}{x}\biggr)^{x} =\biggl(1+\frac{1}{t}\biggr)^{2t}.

Passo 3

Agora observamos que
\bigl(1+\tfrac{1}{t}\bigr)^{2t} =\Bigl[\bigl(1+\tfrac{1}{t}\bigr)^{t}\Bigr]^{2}.
E pelo segundo limite fundamental temos
\lim_{t\rightarrow\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{t}\bigr)^{t}=e.
Portanto
\lim_{t\rightarrow\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{t}\bigr)^{2t} =\bigl(\lim_{t\rightarrow\infty}(1+\tfrac{1}{t})^{t}\bigr)^{2} =e^{2}.

Resposta

\lim_{x\rightarrow\infty}\biggl(1+\frac{2}{x}\biggr)^{x} =e^{2}.

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